Questão 9 (Matemática) do ITA 2015

Question

Considere todos os triângulos retângulos com os lados medindo \sqrt{a}, 2\sqrt{a} e a. Dentre esses triângulos, o de maior hipotenusa tem seu menor ângulo, em radianos, igual a

A
\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{4}.
B
\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3}.
C
\operatorname{arctg} \frac{1}{2}.
D
\operatorname{arctg} \frac{3}{5}.
E
\operatorname{arctg} \frac{4}{5}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) do ITA 2015

Matemática · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.

Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.

\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r

\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere todos os triângulos retângulos com os lados medindo \sqrt{a}, 2\sqrt{a} e a. Dentre esses triângulos, o de maior hipotenusa tem seu menor ângulo, em radianos, igual a

A
\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{4}.
B
\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3}.
C
\operatorname{arctg} \frac{1}{2}.
D
\operatorname{arctg} \frac{3}{5}.
E
\operatorname{arctg} \frac{4}{5}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Os lados são \sqrt{a}, 2\sqrt{a} e a, com a>0. Para ser triângulo retângulo, o quadrado do maior lado deve ser a soma dos quadrados dos outros dois. Como a ordem dos lados depende de a, testamos cada caso.

Caso 1: hipotenusa a. Então a^2 = a + 4a = 5a, logo a=5. Os lados são \sqrt5, 2\sqrt5 e 5, e de fato 5 é o maior. Hipotenusa =5.

Caso 2: hipotenusa 2\sqrt{a}. Então 4a = a + a^2, ou seja, a^2 = 3a e a=3. Os lados são \sqrt3, 2\sqrt3 e 3, e 2\sqrt3\approx3{,}46 é o maior. Hipotenusa =2\sqrt3\approx3{,}46.

Caso 3: hipotenusa \sqrt{a}. Seria impossível, pois \sqrt a<2\sqrt a, então ela nunca é o maior lado.

A maior hipotenusa é 5, do caso 1 (a=5). Os catetos são \sqrt5 e 2\sqrt5.

O menor ângulo fica oposto ao menor cateto, \sqrt5. Sua tangente é:

\operatorname{tg}\theta=\frac{\sqrt5}{2\sqrt5}=\frac12

Logo \theta=\operatorname{arctg}\frac12.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana quem para no triângulo de a=3 (ângulo de 30°) sem comparar com o de a=5, que tem hipotenusa maior.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhum dos triângulos possíveis; a razão entre os catetos não dá \sqrt3/4.
BÉ a tangente de 30°, associada ao triângulo de a=3 (hipotenusa 2\sqrt3), que tem hipotenusa menor.
DValor sem relação com a razão dos catetos \sqrt5 e 2\sqrt5.
EValor sem relação com a razão dos catetos, que é 1/2.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Questão 9 no caderno Matemática do ITA 2015

Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗