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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Matemática) do ITA 2015

Matemática · Matemática: Equações e inequações trigonométricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\operatorname{Im}(z) : parte imaginária do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

\operatorname{tr} A : traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.

Potência de matriz : A^1 = A, A^2 = A \cdot A, \ldots, A^k = A^{k-1} \cdot A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo.

\operatorname{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r

\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}

X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}

\sum_{k=0}^n a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Os valores de x \in [0, 2\pi] que satisfazem a equação 2\operatorname{sen} x - \cos x = 1 são

  1. A
    \arccos\left(\dfrac{3}{5}\right) e \pi.
  2. B
    \operatorname{arcsen}\left(\dfrac{3}{5}\right) e \pi.
  3. C
    \operatorname{arcsen}\left(-\dfrac{4}{5}\right) e \pi.
  4. D
    \arccos\left(-\dfrac{4}{5}\right) e \pi.
  5. E
    \arccos\left(\dfrac{4}{5}\right) e \pi.
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Resolução comentada

Use a substituição \cos x = 1 - 2\operatorname{sen} x e a relação \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1. Como elevar ao quadrado pode criar raízes falsas, é preciso testar no final.

  1. Isole o cosseno: \cos x = 2\operatorname{sen} x - 1.
  2. Eleve ao quadrado: \cos^2 x = 4\operatorname{sen}^2 x - 4\operatorname{sen} x + 1.
  3. Troque \cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x: 1 - s^2 = 4s^2 - 4s + 1, com s=\operatorname{sen} x.
  4. Simplifique: 5s^2 - 4s = 0, logo s = 0 ou s = \dfrac{4}{5}.

Caso s=0: \cos x = -1, então x=\pi. Teste: 0 - (-1) = 1 ✓.

Caso s=\dfrac45: \cos x = 2\cdot\dfrac45 - 1 = \dfrac35. Teste: \dfrac85 - \dfrac35 = 1 ✓. Seno e cosseno positivos indicam o 1º quadrante, então x = \arccos\left(\dfrac35\right).

Os valores em [0,2\pi] são \arccos\left(\dfrac35\right) e \pi.

O outro ponto com \operatorname{sen}x=\frac45 seria no 2º quadrante, com \cos x=-\frac35, que não satisfaz a equação original.

Alternativa A.

Pegadinha: Ao elevar ao quadrado surgem raízes falsas; o seno 4/5 no 2º quadrante (cosseno -3/5) não serve, e as alternativas trocam seno e cosseno.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • B\operatorname{arcsen}(3/5) tem seno 3/5, não 4/5; não satisfaz a equação.
  • C\operatorname{arcsen}(-4/5) é negativo, fora de [0,2\pi], e o seno -4/5 não resolve.
  • D\arccos(-4/5) está no 2º quadrante, com seno 3/5: 6/5+4/5\neq1.
  • E\arccos(4/5) tem seno 3/5: 6/5-4/5=2/5\neq1.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Fonte: ITA 2015 · Matemática. Prova oficial ↗