Questão 3 (Física) do ITA 2015

Question

Uma massa puntiforme é abandonada com impulso inicial desprezível do topo de um hemisfério maciço em repouso sobre uma superfície horizontal. Ao descolar-se da superfície do hemisfério, a massa terá percorrido um ângulo \theta em relação à vertical. Este experimento é realizado nas três condições seguintes, I, II e III, quando são medidos os respectivos ângulos \theta_I, \theta_{II} e \theta_{III}:

I. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal e não há atrito entre a massa e o hemisfério.

II. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal, mas há atrito entre a massa e o hemisfério.

III. O hemisfério e a massa podem deslisar livremente pelas respectivas superfícies.

Nestas condições, pode-se afirmar que

A
\theta_{II} < \theta_I e \theta_{III} < \theta_I.
B
\theta_{II} < \theta_I e \theta_{III} > \theta_I.
C
\theta_{II} > \theta_I e \theta_{III} < \theta_I.
D
\theta_{II} > \theta_I e \theta_{III} > \theta_I.
E
\theta_I = \theta_{III}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) do ITA 2015

Física · Física: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta)

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante dos gases: R = 8\text{ J}/(\text{mol}\cdot\text{K}). Pressão atmosférica ao nível do mar: P_0 = 100\text{ kPa}. Massa molecular do CO_2 = 44\text{ u}. Calor latente do gelo: 80\text{ cal}/\text{g}. Calor específico do gelo: 0{,}5\text{ cal}/(\text{g}\cdot\text{K}). 1\text{ cal} = 4 \times 10^7\text{ erg}. Aceleração da gravidade: g = 10{,}0\text{ m}/\text{s}^2.

Uma massa puntiforme é abandonada com impulso inicial desprezível do topo de um hemisfério maciço em repouso sobre uma superfície horizontal. Ao descolar-se da superfície do hemisfério, a massa terá percorrido um ângulo \theta em relação à vertical. Este experimento é realizado nas três condições seguintes, I, II e III, quando são medidos os respectivos ângulos \theta_I, \theta_{II} e \theta_{III}:

I. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal e não há atrito entre a massa e o hemisfério.

II. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal, mas há atrito entre a massa e o hemisfério.

III. O hemisfério e a massa podem deslisar livremente pelas respectivas superfícies.

Nestas condições, pode-se afirmar que

A
\theta_{II} < \theta_I e \theta_{III} < \theta_I.
B
\theta_{II} < \theta_I e \theta_{III} > \theta_I.
C
\theta_{II} > \theta_I e \theta_{III} < \theta_I.
D
\theta_{II} > \theta_I e \theta_{III} > \theta_I.
E
\theta_I = \theta_{III}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A massa sai da superfície quando a normal se anula. Na direção radial, mg\cos\theta - N = mv^2/R, então o descolamento ocorre quando v^2 = gR\cos\theta.

Caso I (sem atrito, hemisfério fixo): a energia se conserva, v^2 = 2gR(1-\cos\theta). Igualando a gR\cos\theta: 2-2\cos\theta=\cos\theta, logo \cos\theta_I = 2/3.

Caso II (com atrito): parte da energia se dissipa, então para um mesmo ângulo v é menor. Como v^2 cresce mais devagar do que no caso I, a condição v^2 = gR\cos\theta só é atingida num ângulo maior. Logo \theta_{II} > \theta_I.

Caso III (hemisfério livre): a massa empurra o hemisfério para o lado, e ele ganha energia cinética. Para o mesmo ângulo, sobra menos energia para a massa. Além disso, no referencial do hemisfério (que acelera) surge uma força de inércia que reduz a normal. A normal se anula mais cedo, então \theta_{III} < \theta_I.

Confirmando com a conservação do momento horizontal: a velocidade da massa tem parte absorvida pelo movimento do hemisfério, e a normal N também diminui porque parte dela acelera o hemisfério. Em ambos os efeitos o descolamento ocorre antes.

Resultado: \theta_{II} > \theta_I e \theta_{III} < \theta_I.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ADiz que o atrito antecipa o descolamento, mas o atrito dissipa energia, reduz a velocidade e retarda o descolamento.
BInverte os dois efeitos: atrito antecipa e hemisfério livre retarda, o contrário do correto.
DAcerta o caso II, mas erra o III: o hemisfério livre antecipa o descolamento, não o retarda.
EIgnora que no caso III o hemisfério também ganha energia cinética e a normal diminui, então o ângulo muda.

Assuntos: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta), Energia mecânica e sua conservação, Impulso e quantidade de movimento.

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Fonte: ITA 2015 · Física. Prova oficial ↗