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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Física) do ITA 2015

Física · Física: Relatividade restrita

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante dos gases: R = 8\text{ J}/(\text{mol}\cdot\text{K}). Pressão atmosférica ao nível do mar: P_0 = 100\text{ kPa}. Massa molecular do CO_2 = 44\text{ u}. Calor latente do gelo: 80\text{ cal}/\text{g}. Calor específico do gelo: 0{,}5\text{ cal}/(\text{g}\cdot\text{K}). 1\text{ cal} = 4 \times 10^7\text{ erg}. Aceleração da gravidade: g = 10{,}0\text{ m}/\text{s}^2.

Um muon de meia-vida de 1{,}5\ \mu\text{s} é criado a uma altura de 1\ \text{km} da superfície da Terra devido à colisão de um raio cósmico com um núcleo e se desloca diretamente para o chão. Qual deve ser a magnitude mínima da velocidade do muon para que ele tenha 50\% de probabilidade de chegar ao chão?

  1. A
    6{,}7 \times 10^7\ \text{m/s}
  2. B
    1{,}2 \times 10^8\ \text{m/s}
  3. C
    1{,}8 \times 10^8\ \text{m/s}
  4. D
    2{,}0 \times 10^8\ \text{m/s}
  5. E
    2{,}7 \times 10^8\ \text{m/s}
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Resolução comentada

Para ter 50% de chance de chegar ao chão, o muon precisa gastar, no referencial dele, um tempo próprio igual a uma meia-vida: \Delta t_0 = 1{,}5\ \mu\text{s}.

No referencial da Terra, esse tempo é dilatado: \Delta t = \gamma\,\Delta t_0, com \gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}. O muon percorre d = 1\ \text{km} = 10^3\ \text{m} em \Delta t = d/v.

  1. Igualando: \dfrac{d}{v} = \dfrac{\Delta t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.

  2. Elevando ao quadrado: d^2\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right) = v^2\,\Delta t_0^2.

  3. Isolando v: v^2\left(\Delta t_0^2 + \dfrac{d^2}{c^2}\right) = d^2, ou seja, v = \dfrac{d}{\sqrt{\Delta t_0^2 + d^2/c^2}}.

  4. Valores, com c = 3\times10^8\ \text{m/s}: d/c = 10^3/(3\times10^8) = 3{,}33\ \mu\text{s}.

  5. \Delta t_0^2 = 2{,}25\ \mu\text{s}^2 e (d/c)^2 = 11{,}1\ \mu\text{s}^2. A soma é 13{,}36, e a raiz é 3{,}66\ \mu\text{s}.

  6. v = 10^3/(3{,}66\times10^{-6}) \approx 2{,}7\times10^8\ \text{m/s}.

Conferindo: v/c \approx 0{,}91, então \gamma \approx 2{,}4 e \Delta t \approx 3{,}66\ \mu\text{s}, o que dá d = 2{,}7\times10^8 \cdot 3{,}66\times10^{-6} \approx 10^3\ \text{m}. Confere.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão aplica a dilatação do tempo corretamente e chega a um valor muito baixo, próximo do cálculo clássico com outro tempo.
  • BValor sem base no cálculo relativístico, resultante de erro na equação de \gamma.
  • CVelocidade insuficiente: com ela o tempo dilatado não compensa a distância de 1 km.
  • DCorresponde a v=d/\Delta t_0 aproximado sem relatividade, ignorando a dilatação (6{,}7\times10^8 seria o valor clássico, superior a c), ou a erro de conta.

Assuntos: Relatividade restrita, Radioatividade e meia-vida.

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Fonte: ITA 2015 · Física. Prova oficial ↗