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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Física) do ITA 2015

Física · Física: Primeira lei da termodinâmica

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante dos gases: R = 8\text{ J}/(\text{mol}\cdot\text{K}). Pressão atmosférica ao nível do mar: P_0 = 100\text{ kPa}. Massa molecular do CO_2 = 44\text{ u}. Calor latente do gelo: 80\text{ cal}/\text{g}. Calor específico do gelo: 0{,}5\text{ cal}/(\text{g}\cdot\text{K}). 1\text{ cal} = 4 \times 10^7\text{ erg}. Aceleração da gravidade: g = 10{,}0\text{ m}/\text{s}^2.

Numa expansão muito lenta, o trabalho efetuado por um gás num processo adiabático é

W_{12} = \frac{P_1 V_1^{\gamma}}{1 - \gamma} (V_2^{1-\gamma} - V_1^{1-\gamma}),

em que P, V, T são, respectivamente, a pressão, o volume e a temperatura do gás, e \gamma uma constante, sendo os subscritos 1 e 2 representativos, respectivamente, do estado inicial e final do sistema. Lembrando que P V^{\gamma} é constante no processo adiabático, esta fórmula pode ser reescrita deste modo:

  1. A
    \frac{P_1 \left[ V_1 - V_2\ (T_2/T_1)^{\gamma/(\gamma-1)} \right]}{\ln(T_2/T_1)/\ln(V_1/V_2)}
  2. B
    \frac{P_2 \left[ V_1 - V_2\ (T_2/T_1)^{\gamma/(\gamma-1)} \right]}{\ln(T_2/T_1)/\ln(V_2/V_1)}
  3. C
    \frac{P_2 \left[ V_1 - V_2\ (T_2/T_1)^{\gamma/(\gamma-1)} \right]}{\ln(T_2/T_1)/\ln(V_1/V_2)}
  4. D
    \frac{P_1 \left[ V_1 - V_2\ (T_2/T_1)^{\gamma/(\gamma-1)} \right]}{\ln(T_2/T_1)/\ln(V_2/V_1)}
  5. E
    \frac{P_2 \left[ V_1 - V_2\ (T_2/T_1)^{\gamma/(\gamma-1)} \right]}{\ln(T_1/T_2)/\ln(V_2/V_1)}
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Resolução comentada

Use a relação adiabática para trocar as razões de temperatura por razões de volume e depois comparar com a fórmula dada.

  1. Como P_1V_1^{\gamma}=P_2V_2^{\gamma}, o trabalho fica

    W_{12}=\frac{P_1V_1^{\gamma}V_2^{1-\gamma}-P_1V_1}{1-\gamma}=\frac{P_2V_2-P_1V_1}{1-\gamma}=\frac{P_1V_1-P_2V_2}{\gamma-1}.

  2. Num processo adiabático, TV^{\gamma-1} é constante. Logo \dfrac{T_2}{T_1}=\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}.

  3. Tomando o logaritmo: \ln\dfrac{T_2}{T_1}=(\gamma-1)\ln\dfrac{V_1}{V_2}. Então

    \frac{\ln(T_2/T_1)}{\ln(V_1/V_2)}=\gamma-1,
    que é o denominador da alternativa A.

  4. Elevando a razão de temperaturas a \gamma/(\gamma-1): \left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}=\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}.

  5. Como P_2=P_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}, o numerador da alternativa A vale

    P_1\left[V_1-V_2\left(\tfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma}\right]=P_1V_1-P_2V_2.

  6. Dividindo o numerador do item 5 pelo denominador \gamma-1 do item 3, obtém-se exatamente \dfrac{P_1V_1-P_2V_2}{\gamma-1}=W_{12}.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas D e A diferem só na inversão V_2/V_1 no denominador, que troca \gamma-1 por 1-\gamma e inverte o sinal do trabalho.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BO numerador com P_2 não vale P_1V_1-P_2V_2 e o denominador com \ln(V_2/V_1) vale 1-\gamma, então o sinal e o valor não batem.
  • CUsa P_2 no numerador; P_2[V_1-\dots] não é P_1V_1-P_2V_2, então o resultado é diferente de W_{12}.
  • DCom \ln(V_2/V_1) o denominador vale 1-\gamma, o que inverte o sinal do trabalho.
  • EUsa P_2 e inverte as duas razões do denominador, que ficam \ln(T_1/T_2)/\ln(V_2/V_1)=\gamma-1, mas o numerador com P_2 continua errado.

Assuntos: Primeira lei da termodinâmica, Gases ideais e transformações gasosas.

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Fonte: ITA 2015 · Física. Prova oficial ↗