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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Física) do ITA 2015

Física · Física: Força elástica e lei de Hooke

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante dos gases: R = 8\text{ J}/(\text{mol}\cdot\text{K}). Pressão atmosférica ao nível do mar: P_0 = 100\text{ kPa}. Massa molecular do CO_2 = 44\text{ u}. Calor latente do gelo: 80\text{ cal}/\text{g}. Calor específico do gelo: 0{,}5\text{ cal}/(\text{g}\cdot\text{K}). 1\text{ cal} = 4 \times 10^7\text{ erg}. Aceleração da gravidade: g = 10{,}0\text{ m}/\text{s}^2.

A figura mostra um dispositivo para medir o módulo de elasticidade (módulo de Young) de um fio metálico. Ele é definido como a razão entre o força por unidade de área da seção transversal do fio necessária para esticá-lo e o resultante alongamento deste por unidade de seu comprimento. Neste particular experimento, um fio homogêneo de 1{,}0\text{ m} de comprimento e 0{,}2\text{ mm} de diâmetro, fixado numa extremidade, é disposto horizontalmente e preso pela outra ponta ao topo de uma polia de raio r. Um outro fio preso neste mesmo ponto, envolvendo parte da polia, sustenta uma massa de 1\text{ kg}. Solidário ao eixo da polia, um ponteiro de raio R = 10r acusa uma leitura de 10\text{ mm} na escala semicircular iniciada em zero. Nestas condições, o módulo de elasticidade do fio é de

Esquema do dispositivo com um fio horizontal preso à parede e conectado ao topo de uma polia de raio r. Desse ponto, outro fio desce sustentando uma massa de 1 kg. Preso ao centro da polia, um ponteiro de raio R indica a marca de 10 mm em uma escala circular graduada de 0 a 90 mm.

  1. A
    \frac{10^{12}}{\pi}\text{ N/m}^2.
  2. B
    \frac{10^{12}}{2\pi}\text{ N/m}^2.
  3. C
    \frac{10^{12}}{3\pi}\text{ N/m}^2.
  4. D
    \frac{10^{12}}{4\pi}\text{ N/m}^2.
  5. E
    \frac{10^{12}}{8\pi}\text{ N/m}^2.
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Resolução comentada

O módulo de Young relaciona a tensão aplicada ao fio com sua deformação relativa:

Y=\frac{F/A}{\Delta L/L}=\frac{FL}{A\Delta L},

em que A é a área da seção transversal e \Delta L é o alongamento.

Primeiro, precisamos converter a leitura do ponteiro em alongamento do fio. Como o ponteiro e a polia giram pelo mesmo ângulo \theta, os deslocamentos em suas bordas são proporcionais aos respectivos raios:

s=R\theta,\qquad \Delta L=r\theta.

Assim, usando R=10r e s=10\ \text{mm}:
\Delta L=\frac{r}{R}s=\frac{10}{10}=1\ \text{mm}=10^{-3}\ \text{m}.

No equilíbrio, a tração no fio que sustenta a massa vale mg. Como as duas trações atuam com o mesmo braço r, o equilíbrio dos torques da polia fornece:

F=mg=1\cdot10=10\ \text{N}.

O raio da seção do fio é metade do diâmetro informado, portanto vale 0{,}1\ \text{mm}=10^{-4}\ \text{m}. Logo:

A=\pi(10^{-4})^2=\pi\cdot10^{-8}\ \text{m}^2.

Substituindo os valores e o comprimento inicial L=1{,}0\ \text{m}:

Y=\frac{10\cdot1}{(\pi\cdot10^{-8})(10^{-3})}=\frac{10^{12}}{\pi}\ \text{N/m}^2.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem usa o diâmetro de 0,2 mm como raio no cálculo da área da seção transversal.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BApresenta metade do módulo obtido com a área e o alongamento corretos.
  • CApresenta um terço do módulo calculado pela razão entre tensão e deformação relativa.
  • DResulta de usar o diâmetro como raio da seção, quadruplicando indevidamente a área.
  • EApresenta um oitavo do módulo obtido com os dados do dispositivo.

Assuntos: Força elástica e lei de Hooke, Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas.

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Fonte: ITA 2015 · Física. Prova oficial ↗