Questão 7 (Física) do ITA 2014

Question

É muito comum a ocorrência de impurezas em cristais semicondutores. Em primeira aproximação, a energia de ionização dessas impurezas pode ser calculada num modelo semelhante ao do átomo de hidrogênio. Considere um semicondutor com uma impureza de carga +e atraindo um elétron de carga -e. Devido a interações com os átomos da rede cristalina, o elétron, no semicondutor, possui uma massa igual a m_r m_0, em que m_0 é a massa de repouso do elétron e m_r, uma constante adimensional. O conjunto impureza/elétron está imerso no meio semicondutor de permissividade relativa \varepsilon_r. A razão entre a energia de ionização desta impureza e a energia de ionização do átomo de hidrogênio é igual a

A
1.
B
m_r/\varepsilon_r^2.
C
\varepsilon_r^2/m_r.
D
m_r/\varepsilon_r.
E
\varepsilon_r/m_r.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Física) do ITA 2014

Física · Física: Física quântica: fóton e efeito fotoelétrico

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

tacional universal. c: velocidade da luz no vácuo. \hbar: constante de Planck reduzida.

É muito comum a ocorrência de impurezas em cristais semicondutores. Em primeira aproximação, a energia de ionização dessas impurezas pode ser calculada num modelo semelhante ao do átomo de hidrogênio. Considere um semicondutor com uma impureza de carga +e atraindo um elétron de carga -e. Devido a interações com os átomos da rede cristalina, o elétron, no semicondutor, possui uma massa igual a m_r m_0, em que m_0 é a massa de repouso do elétron e m_r, uma constante adimensional. O conjunto impureza/elétron está imerso no meio semicondutor de permissividade relativa \varepsilon_r. A razão entre a energia de ionização desta impureza e a energia de ionização do átomo de hidrogênio é igual a

A
1.
B
m_r/\varepsilon_r^2.
C
\varepsilon_r^2/m_r.
D
m_r/\varepsilon_r.
E
\varepsilon_r/m_r.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

No átomo de hidrogênio (modelo de Bohr), a energia de ionização vem do equilíbrio entre a força de Coulomb e a força centrípeta, com o momento angular quantizado. O resultado é:

E_H=\frac{m_0 e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}

Para a impureza, duas coisas mudam:

A massa do elétron passa a ser m_r m_0.
A permissividade do meio passa de \varepsilon_0 para \varepsilon_r\varepsilon_0. Isso enfraquece a força de Coulomb.

Substituindo no resultado de Bohr, m_0 \to m_r m_0 e \varepsilon_0 \to \varepsilon_r\varepsilon_0:

E_{imp}=\frac{m_r m_0 e^4}{2(4\pi\varepsilon_r\varepsilon_0)^2\hbar^2}=\frac{m_r}{\varepsilon_r^2}\,E_H

A energia depende linearmente da massa e do inverso do quadrado da permissividade. Isso acontece porque E\propto k^2 m, e a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon} aparece ao quadrado, já que o produto k e^2 entra duas vezes (no raio e na energia).

A razão pedida é então:

\frac{E_{imp}}{E_H}=\frac{m_r}{\varepsilon_r^2}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aignora a massa efetiva e a permissividade do meio, tratando a impureza como o hidrogênio no vácuo.
Cinverte a razão, colocando a massa no denominador e \varepsilon_r^2 no numerador.
Dusa \varepsilon_r na primeira potência, esquecendo que a constante de Coulomb entra ao quadrado na energia.
Einverte a dependência com a massa e usa \varepsilon_r sem o quadrado.

Assuntos: Física quântica: fóton e efeito fotoelétrico, Força elétrica e lei de Coulomb.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Fonte: ITA 2014 · Física. Prova oficial ↗