Questão 5 (Física) do ITA 2014

Question

Um capacitor de placas planas paralelas de área A, separadas entre si por uma distância inicial r_0 muito menor que as dimensões dessa área, tem sua placa inferior fixada numa base isolante e a superior suspensa por uma mola (figura (1)). Dispondo-se uma massa m sobre a placa superior, resultam pequenas oscilações de período T do conjunto placa superior + massa m. Variando-se m, obtém-se um gráfico de T^2 versus m, do qual, após ajuste linear, se extrai o coeficiente angular \alpha. A seguir, após remover a massa m da placa superior e colocando entre as placas um meio dielétrico sem resistência ao movimento, aplica-se entre elas uma diferença de potencial V e monitora-se a separação r de equilíbrio (figuras (2) e (3)). Nestas condições, a permissividade \varepsilon do meio entre as placas é

Capacitor de placas paralelas com placa superior suspensa por uma mola e placa inferior fixa sobre a base isolante, com separação r₀ e diferença de potencial V = 0. Abaixo, a legenda Fig. (1).
Capacitor com meio dielétrico de permissividade ε entre as placas com separação r e diferença de potencial V ≠ 0. Abaixo, a legenda Fig. (2).
Gráfico da diferença de potencial versus separação r, mostrando curva com valor máximo Vm na posição r = 2r₀/3 e atingindo o eixo horizontal em r = r₀. Abaixo, a legenda Fig. (3).

A
32\pi^2r_0^3/(27\alpha AV_m^2).
B
16\pi^2r_0^3/(27\alpha AV_m^2).
C
8\pi^2r_0^3/(27\alpha AV_m^2).
D
4\pi^2r_0^3/(\alpha AV_m^2).
E
16\pi^2r^3/(27\alpha AV^2).

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) do ITA 2014

Física · Física: Capacitores

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

tacional universal. c: velocidade da luz no vácuo. \hbar: constante de Planck reduzida.

Um capacitor de placas planas paralelas de área A, separadas entre si por uma distância inicial r_0 muito menor que as dimensões dessa área, tem sua placa inferior fixada numa base isolante e a superior suspensa por uma mola (figura (1)). Dispondo-se uma massa m sobre a placa superior, resultam pequenas oscilações de período T do conjunto placa superior + massa m. Variando-se m, obtém-se um gráfico de T^2 versus m, do qual, após ajuste linear, se extrai o coeficiente angular \alpha. A seguir, após remover a massa m da placa superior e colocando entre as placas um meio dielétrico sem resistência ao movimento, aplica-se entre elas uma diferença de potencial V e monitora-se a separação r de equilíbrio (figuras (2) e (3)). Nestas condições, a permissividade \varepsilon do meio entre as placas é

Capacitor de placas paralelas com placa superior suspensa por uma mola e placa inferior fixa sobre a base isolante, com separação r₀ e diferença de potencial V = 0. Abaixo, a legenda Fig. (1).
Capacitor com meio dielétrico de permissividade ε entre as placas com separação r e diferença de potencial V ≠ 0. Abaixo, a legenda Fig. (2).
Gráfico da diferença de potencial versus separação r, mostrando curva com valor máximo Vm na posição r = 2r₀/3 e atingindo o eixo horizontal em r = r₀. Abaixo, a legenda Fig. (3).

A
32\pi^2r_0^3/(27\alpha AV_m^2).
B
16\pi^2r_0^3/(27\alpha AV_m^2).
C
8\pi^2r_0^3/(27\alpha AV_m^2).
D
4\pi^2r_0^3/(\alpha AV_m^2).
E
16\pi^2r^3/(27\alpha AV^2).

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Mola. Com a massa m, o período é T=2\pi\sqrt{m/k}, logo T^2=\dfrac{4\pi^2}{k}\,m. O coeficiente angular do gráfico é \alpha=\dfrac{4\pi^2}{k}, então k=\dfrac{4\pi^2}{\alpha}.

Equilíbrio com tensão. A força elétrica entre as placas é F=\dfrac{CV^2}{2r}, com C=\dfrac{\varepsilon A}{r}, ou seja, F=\dfrac{\varepsilon A V^2}{2r^2}. Ela atrai a placa superior, comprimindo a mola de r_0-r:

k(r_0-r)=\frac{\varepsilon A V^2}{2r^2}\ \Rightarrow\ V^2=\frac{2k}{\varepsilon A}\,r^2(r_0-r)

Máximo de V. O gráfico mostra V máximo em r=2r_0/3 (confere: a derivada de r^2r_0-r^3 dá 2rr_0-3r^2=0, logo r=2r_0/3). Nesse ponto:

r^2(r_0-r)=\frac{4r_0^2}{9}\cdot\frac{r_0}{3}=\frac{4r_0^3}{27}

V_m^2=\frac{2k}{\varepsilon A}\cdot\frac{4r_0^3}{27}=\frac{8k\,r_0^3}{27\,\varepsilon A}

Isolando \varepsilon:

\varepsilon=\frac{8k\,r_0^3}{27AV_m^2}=\frac{8\cdot 4\pi^2 r_0^3}{27\,\alpha A V_m^2}=\frac{32\pi^2r_0^3}{27\alpha AV_m^2}

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BPerde um fator 2, por exemplo usando F=CV^2/(4r) ou k=2\pi^2/\alpha.
CEsquece o fator 4 de k=4\pi^2/\alpha (usa k=\pi^2/\alpha).
DNão usa o ponto de máximo r=2r_0/3 nem o fator 4/27, resultado sem fundamento.
EUsa r e V genéricos em vez de r_0 e V_m, além de fator errado.

Assuntos: Capacitores, Movimento harmônico simples e pêndulos.

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Fonte: ITA 2014 · Física. Prova oficial ↗