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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) do ITA 2014

Física · Física: Pressão hidrostática: Stevin e Pascal

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

tacional universal. c: velocidade da luz no vácuo. \hbar: constante de Planck reduzida.

Uma esfera de massa m tampa um buraco circular de raio r no fundo de um recipiente cheio de água de massa específica \rho. Baixando-se lentamente o nível da água, num dado momento a esfera se desprende do fundo do recipiente. Assinale a alternativa que expressa a altura h do nível de água para que isto aconteça, sabendo que o topo da esfera, a uma altura a do fundo do recipiente, permanece sempre coberto de água.

Esquema em corte de um recipiente com água, representada em cinza, e uma esfera tampando uma abertura circular no fundo. A esfera atravessa parcialmente o fundo do recipiente. À esquerda, uma seta vertical indica a altura h entre o fundo e o nível da água. À direita da esfera, uma seta vertical indica a altura a entre o fundo e o topo da esfera. Sob a abertura, uma seta horizontal indica seu diâmetro 2r.

  1. A
    m/(\rho\pi a^2)
  2. B
    m/(\rho\pi r^2)
  3. C
    a(3r^2+a^2)/(6r^2)
  4. D
    a/2-m/(\rho\pi r^2)
  5. E
    a(3r^2+a^2)/(6r^2)-m/(\rho\pi r^2)
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Resolução comentada

A esfera fica sobre o buraco circular de raio r. Por baixo dela há ar (pressão atmosférica), então a água só empurra a esfera pela parte que está acima do fundo. A pressão atmosférica na superfície da água se cancela com a de baixo, e sobra só a pressão hidrostática.

A esfera está pronta para desprender quando a força da água para baixo se iguala ao peso... e a condição é a seguinte: o empuxo "normal" não vale, pois a parte de baixo não está molhada. Calculamos a força líquida da água como a força sobre a calota superior menos a da base.

  1. A esfera toca o fundo em um círculo de raio r (área \pi r^2). A base da esfera na região do buraco tem pressão atmosférica.
  2. Força vertical da água na esfera (para baixo) = peso da coluna de água acima dela, de altura h, sobre a área do círculo, menos o volume da esfera acima do plano do buraco: F=\rho g\,(\pi r^2 h - V), onde V é o volume da parte da esfera acima do fundo.
  3. A esfera tem altura a acima do fundo, e o corte pelo plano do fundo forma um segmento esférico (calota) de altura a e raio de base r: V=\dfrac{\pi a}{6}(3r^2+a^2).
  4. No desprendimento, a força da água para baixo se iguala ao peso para cima... mas a água empurra para baixo e o peso também; a esfera só sobe se o empuxo líquido superar o peso. Então a força líquida da água para cima é \rho g(V-\pi r^2 h) e deve igualar mg (peso):
\rho(V-\pi r^2 h)=m
  1. Isolando h:
h=\frac{V}{\pi r^2}-\frac{m}{\rho\pi r^2}=\frac{a(3r^2+a^2)}{6r^2}-\frac{m}{\rho\pi r^2}

A primeira parcela vem do volume da calota e a segunda, da massa da esfera.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa a área \pi a^2 e ignora o volume da calota submersa.
  • BConsidera só o peso da esfera contra a coluna de água, esquecendo o empuxo sobre a calota.
  • CTem apenas o termo do volume da calota, sem descontar a massa da esfera.
  • DTroca o volume correto da calota por a/2, que não corresponde à geometria.

Assuntos: Pressão hidrostática: Stevin e Pascal, Empuxo e princípio de Arquimedes.

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Ver como caiu na prova Questão 3 no caderno Física do ITA 2014

Fonte: ITA 2014 · Física. Prova oficial ↗