Questão 2 (Física) do ITA 2014

Question

Considere dois satélites artificiais S e T em torno da Terra. S descreve uma órbita elíptica com semieixo maior a, e T, uma órbita circular de raio a, com os respectivos vetores posição \vec{r}_S e \vec{r}_T com origem no centro da Terra. É correto afirmar que

A
para o mesmo intervalo de tempo, a área varrida por \vec{r}_S é igual à varrida por \vec{r}_T.
B
para o mesmo intervalo de tempo, a área varrida por \vec{r}_S é maior que a varrida por \vec{r}_T.
C
o período de translação de S é igual ao de T.
D
o período de translação de S é maior que o de T.
E
se S e T têm a mesma massa, então a energia mecânica de S é maior que a de T.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) do ITA 2014

Física · Física: Leis de Kepler

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

tacional universal. c: velocidade da luz no vácuo. \hbar: constante de Planck reduzida.

Considere dois satélites artificiais S e T em torno da Terra. S descreve uma órbita elíptica com semieixo maior a, e T, uma órbita circular de raio a, com os respectivos vetores posição \vec{r}_S e \vec{r}_T com origem no centro da Terra. É correto afirmar que

A
para o mesmo intervalo de tempo, a área varrida por \vec{r}_S é igual à varrida por \vec{r}_T.
B
para o mesmo intervalo de tempo, a área varrida por \vec{r}_S é maior que a varrida por \vec{r}_T.
C
o período de translação de S é igual ao de T.
D
o período de translação de S é maior que o de T.
E
se S e T têm a mesma massa, então a energia mecânica de S é maior que a de T.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Use a terceira lei de Kepler: o período de translação depende só do semieixo maior da órbita (e da massa da Terra), segundo T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}a^3. Para a órbita circular, o semieixo maior é o próprio raio a.

Como S (elíptica, semieixo maior a) e T (circular, raio a) têm o mesmo a, os dois têm o mesmo período.

Conferindo as demais:

Área varrida: pela segunda lei de Kepler, a velocidade areolar é constante em cada órbita, mas vale \frac{L}{2m} e muda de uma órbita para outra. Em geral, as velocidades areolares de S e T são diferentes. Dentro de um período completo, as áreas são \pi ab (elipse) e \pi a^2 (círculo). Como b<a, a área da elipse é menor, e a velocidade areolar de S é menor que a de T. Portanto (A) e (B) são falsas.
Energia mecânica: em órbitas ligadas, E = -\frac{GMm}{2a}, que depende só de a e de m. Com a mesma massa e o mesmo a, as energias são iguais, então (E) é falsa.
Período: igual, então (D) é falsa e (C) é verdadeira.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem acha que a órbita elíptica é 'mais longa' e portanto mais demorada, esquecendo que a terceira lei de Kepler usa o semieixo maior.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aa velocidade areolar de S é menor que a de T, pois a área da elipse \pi ab é menor que \pi a^2 no mesmo período.
Binverte a relação: a área varrida por S no mesmo intervalo é menor, não maior, porque b<a.
Do período depende só do semieixo maior, que é o mesmo; S não demora mais.
Ea energia mecânica -\frac{GMm}{2a} depende só de a e m, então é igual nas duas órbitas.

Assunto: Leis de Kepler.

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Fonte: ITA 2014 · Física. Prova oficial ↗