Questão 1 (Física) do ITA 2014

Question

O módulo de Young de um material mede sua resistência a deformações causadas por esforços externos. Numa parede vertical, encontra-se engastado um sólido maciço de massa específica \rho e módulo de Young \mathcal{E}, em formato de paralelepípedo reto, cujas dimensões são indicadas na figura. Com base nas correlações entre grandezas físicas, assinale a alternativa que melhor expressa a deflexão vertical sofrida pela extremidade livre do sólido pela ação do seu próprio peso.

Sólido em formato de paralelepípedo de comprimento a, largura b e altura h, engastado em uma parede vertical, sob ação da aceleração da gravidade g indicada por uma seta para baixo.

A
3\rho gab/(2\mathcal{E})
B
3\rho gb^2/(2\mathcal{E})
C
3\mathcal{E}b^2h^2/(2\rho ga^4)
D
3\rho ga^4/(2\mathcal{E}h^2)
E
3\rho gbh/(2\mathcal{E})

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Física) do ITA 2014

Física · Física: Unidades do SI e análise dimensional

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

tacional universal. c: velocidade da luz no vácuo. \hbar: constante de Planck reduzida.

O módulo de Young de um material mede sua resistência a deformações causadas por esforços externos. Numa parede vertical, encontra-se engastado um sólido maciço de massa específica \rho e módulo de Young \mathcal{E}, em formato de paralelepípedo reto, cujas dimensões são indicadas na figura. Com base nas correlações entre grandezas físicas, assinale a alternativa que melhor expressa a deflexão vertical sofrida pela extremidade livre do sólido pela ação do seu próprio peso.

Sólido em formato de paralelepípedo de comprimento a, largura b e altura h, engastado em uma parede vertical, sob ação da aceleração da gravidade g indicada por uma seta para baixo.

A
3\rho gab/(2\mathcal{E})
B
3\rho gb^2/(2\mathcal{E})
C
3\mathcal{E}b^2h^2/(2\rho ga^4)
D
3\rho ga^4/(2\mathcal{E}h^2)
E
3\rho gbh/(2\mathcal{E})

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

A questão pede uma análise dimensional: a deflexão \delta é um comprimento e só pode depender de \rho, g, \mathcal{E} e das dimensões a, b, h.

O módulo de Young tem dimensão de pressão: [\mathcal{E}]=\text{N/m}^2=\text{kg}\,\text{m}^{-1}\text{s}^{-2}.

A massa específica tem [\rho]=\text{kg}\,\text{m}^{-3} e a gravidade tem [g]=\text{m}\,\text{s}^{-2}. Logo:

[\rho g]=\text{kg}\,\text{m}^{-2}\text{s}^{-2}

Dividindo, \dfrac{\rho g}{\mathcal{E}} tem dimensão \text{m}^{-1}, ou seja, o inverso de um comprimento. Para obter um comprimento, multiplicamos por algo de dimensão \text{m}^2.

Agora examinamos as alternativas:

(A) \rho g ab/\mathcal{E} tem dimensão \text{m}^{-1}\cdot\text{m}^2=\text{m}. Dimensionalmente correta, mas não depende de h.
(D) \rho g a^4/(\mathcal{E}h^2) tem dimensão \text{m}^{-1}\cdot\text{m}^4\cdot\text{m}^{-2}=\text{m}. Também correta.
(B) e (E) também têm dimensão de comprimento.

Precisamos então de critério físico. Uma viga engastada com peso próprio tem flecha \delta=\dfrac{3\rho g a^4}{2\mathcal{E}h^2}. Ela cresce muito com o comprimento (a^4) e diminui com a altura (h^2), pois a rigidez à flexão vertical cresce com h. Isso é compatível com a intuição: uma viga mais longa envergaria muito mais, e uma mais alta, muito menos. A largura b se cancela, porque o peso e a rigidez são proporcionais a ela.

Só a alternativa D tem essa dependência.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

Atem dimensão de comprimento, mas depende de b e não de h, e cresce só com a, sem a forte dependência a^4/h^2 da flexão.
Bnão contém o comprimento a nem a altura h, que governam a flexão.
Ctem \rho g no denominador e \mathcal{E} no numerador, o que dá dimensão incorreta e comportamento invertido.
Enão depende de a, o que é fisicamente absurdo, e depende de b, que se cancela.

Assuntos: Unidades do SI e análise dimensional, Força elástica e lei de Hooke.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Fonte: ITA 2014 · Física. Prova oficial ↗