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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Matemática) do ITA 2014

Matemática · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}

\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros

\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais

\mathbb{R} : conjunto dos números reais

\mathbb{C} : conjunto dos números complexos

i : unidade imaginária: i^2 = -1

|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}

\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}

\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}

\det A : determinante da matriz A

A^t : transposta da matriz A

\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A

f \circ g : função composta das funções f e g

[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}

[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}

]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}

]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}

A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}

\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Considere o triângulo ABC retângulo em A. Sejam \overline{AE} e \overline{AD} a altura e a mediana relativa à hipotenusa \overline{BC}, respectivamente. Se a medida de \overline{BE} é (\sqrt{2}-1)\ cm e a medida de \overline{AD} é 1\ cm, então \overline{AC} mede, em cm,

  1. A
    4\sqrt{2}-5.
  2. B
    3-\sqrt{2}.
  3. C
    \sqrt{6-2\sqrt{2}}.
  4. D
    3(\sqrt{2}-1).
  5. E
    3\sqrt{4\sqrt{2}-5}.
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Resolução comentada

A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa. Como AD = 1, temos BC = 2 e BD = DC = 1.

A altura AE cai sobre a hipotenusa, e BE = \sqrt{2}-1. Aplicamos as relações métricas do triângulo retângulo.

  1. Cateto AB: AB^2 = BE \cdot BC = 2(\sqrt{2}-1).

  2. Pitágoras: AC^2 = BC^2 - AB^2 = 4 - 2(\sqrt{2}-1) = 6 - 2\sqrt{2}.

  3. Logo, AC = \sqrt{6-2\sqrt{2}}.

Conferência pela outra relação: EC = 2 - (\sqrt{2}-1) = 3-\sqrt{2} e AC^2 = EC \cdot BC = 2(3-\sqrt{2}) = 6-2\sqrt{2}. O resultado é o mesmo.

Não dá para simplificar o radical: 6-2\sqrt{2} não é quadrado perfeito de uma soma da forma a-b\sqrt{2} com valores simples. Então a resposta fica como está.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana por ser a projeção EC = 3-\sqrt{2}, que aparece no caminho, mas não é o cateto AC.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com as relações métricas; não corresponde a AC^2 nem a AC.
  • BÉ a medida de EC, a projeção de AC sobre a hipotenusa, e não o cateto AC.
  • DExpressão sem origem nas relações métricas; 3(\sqrt{2}-1) não resulta de nenhuma etapa correta.
  • EResultado de uma conta errada com fator 3 fora do radical, sem base nas relações do triângulo.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗