Questão 13 (Física) do ITA 2014

Question

Um sistema binário é formado por duas estrelas esféricas de respectivas massas m e M, cujos centros distam d entre si, cada qual descrevendo um movimento circular em torno do centro de massa desse sistema. Com a estrela de massa m na posição mostrada na figura, devido ao efeito Doppler, um observador T da Terra detecta uma raia do espectro do hidrogênio, emitida por essa estrela, com uma frequência f ligeiramente diferente da sua frequência natural f_0. Considere a Terra em repouso em relação ao centro de massa do sistema e que o movimento das estrelas ocorre no mesmo plano de observação. Sendo as velocidades das estrelas muito menores que c, assinale a alternativa que explicita o valor absoluto de (f - f_0)/f_0. Se necessário, utilize (1 + x)^n \cong 1 + nx para x \ll 1.

Esquema do sistema binário de estrelas de massas M e m orbitando em órbitas circulares concêntricas tracejadas em torno do centro de massa. A distância entre seus centros é d. O observador T na Terra está situado abaixo, alinhado verticalmente com o centro de massa, formando um ângulo alfa com a linha de visada para a estrela de massa m.

A
\sqrt{GM^2/[d(M + m)c^2]}
B
\sqrt{Gm^2\sen^2\alpha/[d(M + m)c^2]}
C
\sqrt{Gm^2\cos^2\alpha/[d(M + m)c^2]}
D
\sqrt{GM^2\sen^2\alpha/[d(M + m)c^2]}
E
\sqrt{GM^2\cos^2\alpha/[d(M + m)c^2]}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Física) do ITA 2014

Física · Física: Efeito Doppler

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

tacional universal. c: velocidade da luz no vácuo. \hbar: constante de Planck reduzida.

Um sistema binário é formado por duas estrelas esféricas de respectivas massas m e M, cujos centros distam d entre si, cada qual descrevendo um movimento circular em torno do centro de massa desse sistema. Com a estrela de massa m na posição mostrada na figura, devido ao efeito Doppler, um observador T da Terra detecta uma raia do espectro do hidrogênio, emitida por essa estrela, com uma frequência f ligeiramente diferente da sua frequência natural f_0. Considere a Terra em repouso em relação ao centro de massa do sistema e que o movimento das estrelas ocorre no mesmo plano de observação. Sendo as velocidades das estrelas muito menores que c, assinale a alternativa que explicita o valor absoluto de (f - f_0)/f_0. Se necessário, utilize (1 + x)^n \cong 1 + nx para x \ll 1.

Esquema do sistema binário de estrelas de massas M e m orbitando em órbitas circulares concêntricas tracejadas em torno do centro de massa. A distância entre seus centros é d. O observador T na Terra está situado abaixo, alinhado verticalmente com o centro de massa, formando um ângulo alfa com a linha de visada para a estrela de massa m.

A
\sqrt{GM^2/[d(M + m)c^2]}
B
\sqrt{Gm^2\sen^2\alpha/[d(M + m)c^2]}
C
\sqrt{Gm^2\cos^2\alpha/[d(M + m)c^2]}
D
\sqrt{GM^2\sen^2\alpha/[d(M + m)c^2]}
E
\sqrt{GM^2\cos^2\alpha/[d(M + m)c^2]}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O efeito Doppler para velocidades muito menores que c depende só da componente da velocidade na linha de visada: \left|\dfrac{f-f_0}{f_0}\right| \cong \dfrac{|v_r|}{c}.

Primeiro, a velocidade orbital de m. As duas estrelas giram em torno do centro de massa com a mesma velocidade angular \omega. Se m está a uma distância r_m do centro de massa, então r_m = \dfrac{M d}{M+m}.

A força gravitacional faz o papel de força centrípeta para m:

\frac{GMm}{d^2} = m\,\omega^2 r_m \;\Rightarrow\; \omega^2 = \frac{G(M+m)}{d^3}

Logo:

v_m = \omega r_m = \sqrt{\frac{G(M+m)}{d^3}}\cdot\frac{Md}{M+m} = \sqrt{\frac{GM^2}{d(M+m)}}

Agora a direção. Na figura, m está à direita do centro de massa, na mesma altura dele, então o raio da órbita é horizontal e a velocidade de m é vertical, ou seja, paralela à reta que liga T ao centro de massa. A linha de visada faz o ângulo \alpha com essa vertical, então a componente da velocidade ao longo dela é:

v_r = v_m\cos\alpha

Portanto:

\left|\frac{f-f_0}{f_0}\right| = \frac{v_m\cos\alpha}{c} = \sqrt{\frac{GM^2\cos^2\alpha}{d(M+m)c^2}}

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana por trazer M^2 certo, mas com seno: a velocidade é perpendicular ao raio, e \alpha é medido em relação à vertical, que é a direção da velocidade, então a projeção é cosseno.

Por que as outras alternativas estão erradas

AIgnora a projeção da velocidade na linha de visada, usando a velocidade orbital inteira.
BUsa m^2 (a velocidade de m depende de M) e o seno no lugar do cosseno.
CTroca M por m na velocidade orbital de m; o cosseno está correto.
DA massa M está correta, mas usa seno em vez de cosseno para a projeção.

Assuntos: Efeito Doppler, Gravitação universal e satélites.

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Questão 13 no caderno Física do ITA 2014

Fonte: ITA 2014 · Física. Prova oficial ↗