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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Física) do ITA 2014

Física · Física: Associação de resistores

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

tacional universal. c: velocidade da luz no vácuo. \hbar: constante de Planck reduzida.

Um circuito elétrico com dois pares de terminais é conhecido como quadripolo. Para um quadripolo passivo, as tensões medidas em cada par de terminais podem ser expressas em função das correntes mediante uma matriz de impedância Z = \begin{bmatrix} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{bmatrix}, de tal forma que: \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = Z \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix}. Dos quadripolos propostos nas alternativas seguintes, assinale aquele cuja matriz de impedância seja \begin{bmatrix} 4\,\Omega & 2\,\Omega \\ 2\,\Omega & 3\,\Omega \end{bmatrix}.

Diagrama esquemático de um circuito quadripolo representado por uma caixa retangular central rotulada 'Quadripolo'. À esquerda, um par de terminais está conectado a uma fonte de tensão contínua com diferença de potencial $v_1$ e corrente $i_1$ orientada para cima. À direita, o segundo par de terminais está conectado a uma fonte de tensão contínua com diferença de potencial $v_2$ e corrente $i_2$ orientada para cima.

  1. A
    Circuito em T com resistor de 2 ohms no ramo superior esquerdo, resistor de 1 ohm no ramo superior direito e resistor de 1 ohm no ramo vertical central.
  2. B
    Circuito em T com resistor de 4 ohms no ramo superior esquerdo, resistor de 2 ohms no ramo superior direito e resistor de 3 ohms no ramo vertical central.
  3. C
    Circuito em T com resistor de 4 ohms no ramo superior esquerdo, resistor de 3 ohms no ramo superior direito e resistor de 2 ohms no ramo vertical central.
  4. D
    Circuito em Pi com resistor de 4 ohms no ramo horizontal superior, resistor de 8 ohms no ramo vertical esquerdo e resistor de 4 ohms no ramo vertical direito.
  5. E
    Circuito em Pi com resistor de 8 ohms no ramo horizontal superior e dois resistores de 4 ohms nos ramos verticais esquerdo e direito.
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Resolução comentada

A matriz de impedância diz que v_1 = z_{11}i_1 + z_{12}i_2 e v_2 = z_{21}i_1 + z_{22}i_2. Para achar cada z, aplicamos corrente em um par de terminais e deixamos o outro em aberto.

No circuito em T, sejam R_a o resistor superior esquerdo, R_b o superior direito e R_c o vertical central.

  1. Com i_2 = 0 (saída aberta), nenhuma corrente passa por R_b. Toda i_1 passa por R_a e R_c: v_1 = (R_a+R_c)\,i_1, logo z_{11}=R_a+R_c.
  2. Ainda com i_2=0, v_2 é a tensão sobre R_c (sem queda em R_b): v_2 = R_c\,i_1, logo z_{21}=R_c=z_{12}.
  3. Com i_1=0, só passa corrente por R_b e R_c: z_{22}=R_b+R_c.

Queremos z_{12}=z_{21}=2\ \Omega, então R_c = 2\ \Omega.

De z_{11}=4\ \Omega: R_a = 4-2 = 2\ \Omega.

De z_{22}=3\ \Omega: R_b = 3-2 = 1\ \Omega.

Precisaríamos de um T com 2\ \Omega, 1\ \Omega e 2\ \Omega, que não aparece entre os T das alternativas A, B e C. Vamos testar os circuitos em Pi.

No Pi, com i_2=0, a resistência vista na entrada é R_{\text{vert,esq}} em paralelo com (R_{\text{sup}}+R_{\text{vert,dir}}).

Alternativa D: 8\parallel(4+4)=8\parallel 8=4\ \Omega, então z_{11}=4\ \Omega. ✓

A tensão de saída é a tensão sobre o resistor de 4\ \Omega vertical direito, pelo divisor de tensão: v_2 = v_1\cdot\frac{4}{4+4}=\frac{v_1}{2}. Com v_1=4i_1, v_2=2i_1, logo z_{21}=2\ \Omega. ✓

Para z_{22}: com i_1=0, 4\parallel(4+8)=\frac{4\cdot12}{16}=3\ \Omega. ✓

A alternativa D reproduz toda a matriz.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana por trazer os valores 4, 2 e 3 ohms da própria matriz como resistores, mas num T os elementos de Z são somas de resistores, não os valores individuais.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO T com 2, 1 e 1 ohm dá z_{11}=3, z_{12}=1 e z_{22}=2, que não coincide com a matriz.
  • BO T com 4, 2 e 3 ohms dá z_{11}=7, z_{12}=3 e z_{22}=5: confunde os resistores do circuito com os elementos da matriz.
  • CO T com 4, 3 e 2 ohms dá z_{11}=6, z_{12}=2 e z_{22}=5, errando z_{11} e z_{22}.
  • ENo Pi com 8, 4 e 4 ohms, z_{11}=4\parallel12=3\ \Omega, diferente de 4\ \Omega.

Assuntos: Associação de resistores, Resistência elétrica e leis de Ohm.

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Fonte: ITA 2014 · Física. Prova oficial ↗