PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 12 (Matemática) do ITA 2014
Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais; \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}
\mathbb{Z} : conjunto dos números inteiros
\mathbb{Q} : conjunto dos números racionais
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
|z| : módulo do número z \in \mathbb{C}
\overline{z} : conjugado do número z \in \mathbb{C}
\text{Re}(z) : parte real do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
A^t : transposta da matriz A
\mathcal{P}(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A) : número de elementos do conjunto finito A
P(A) : probabilidade de ocorrência do evento A
f \circ g : função composta das funções f e g
[a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R};\ a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R};\ a < x < b\}
A \setminus B = \{x;\ x \in A\text{ e } x \notin B\}
\displaystyle\sum_{n=1}^{k} a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_k,\ k \in \mathbb{N}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
Considere o polinômio complexo p(z) = z^4 + a z^3 + 5 z^2 - i z - 6, em que a é uma constante complexa. Sabendo que 2i é uma das raízes de p(z) = 0, as outras três raízes são
- A-3i, -1, 1.
- B-i, i, 1.
- C-i, i, -1.
- D-2i, -1, 1.
- E-2i, -i, i.
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Resolução comentada
Como a é complexo, não vale a regra do conjugado: -2i não é raiz automaticamente. Por isso, usamos a raiz dada para achar a.
-
Substituímos z = 2i em p(z)=0:
z^2=-4, z^3=-8i, z^4=16.
16 + a(-8i) + 5(-4) - i(2i) - 6 = 0
16 - 8ia - 20 + 2 - 6 = 0 \Rightarrow -8ia = 8 \Rightarrow a = \frac{8}{-8i} = -\frac{1}{i} = i -
Com a=i, o polinômio é p(z)=z^4 + i z^3 + 5z^2 - i z - 6.
-
Testamos as candidatas das alternativas:
- z=1: 1 + i + 5 - i - 6 = 0, é raiz.
- z=-1: 1 - i + 5 + i - 6 = 0, é raiz.
-
As raízes 1 e -1 dão o fator z^2-1. Dividindo p(z) por (z-2i)(z^2-1), falta um fator (z-r). Pelo produto das raízes (termo independente): 2i\cdot 1\cdot(-1)\cdot r = -6, logo -2i\,r=-6 e r = \frac{3}{i} = -3i.
-
Conferindo pela soma das raízes, que vale -a=-i: 2i + 1 - 1 - 3i = -i. Confere.
As outras três raízes são -3i, -1 e 1.
Alternativa A.
Pegadinha: A alternativa D engana quem aplica o conjugado (-2i) esquecendo que a é complexo, então os coeficientes não são reais.
Por que as outras alternativas estão erradas
- B-i, i e 1 não são todas raízes; -1 é raiz e a soma das raízes não daria -a=-i.
- Ci e -i não anulam p com a=i; o produto das raízes também não fecha em -6.
- DSupõe que -2i é raiz por ser o conjugado, mas a é complexo e a regra não vale.
- EUsa a ideia errada de conjugado e raízes que não satisfazem o produto -6.
Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Números complexos.
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Fonte: ITA 2014 · Matemática. Prova oficial ↗