Questão 6 (Física) do ITA 2013

Question

Uma corda, de massa desprezível, tem fixada em cada uma de suas extremidades, F e G, uma partícula de massa m. Esse sistema encontra-se em equilíbrio apoiado numa superfície cilíndrica sem atrito, de raio r, abrangendo um ângulo de 90^\circ e simetricamente disposto em relação ao ápice P do cilindro, conforme mostra a figura. Se a corda for levemente deslocada e começa a escorregar no sentido anti-horário, o ângulo \theta \equiv F\hat{O}P em que a partícula na extremidade F perde contato com a superfície é tal que

Corda com massas m nas extremidades F e G apoiada simetricamente no topo de um cilindro de centro O, raio r e ápice P, formando ângulos de 45° com a vertical tracejada.

A
2\cos\theta = 1.
B
2\cos\theta - \sen\theta = \sqrt{2}.
C
2\sen\theta + \cos\theta = \sqrt{2}.
D
2\cos\theta + \sen\theta = \sqrt{2}.
E
2\cos\theta + \sen\theta = \sqrt{2}/2.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Física) do ITA 2013

Física · Física: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta)

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

do próton = 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg}, aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2 , 1\text{ atm} = 76\text{ cm Hg}, velocidade da luz no vácuo c = 3 \times 10^8\text{ m/s}.

Uma corda, de massa desprezível, tem fixada em cada uma de suas extremidades, F e G, uma partícula de massa m. Esse sistema encontra-se em equilíbrio apoiado numa superfície cilíndrica sem atrito, de raio r, abrangendo um ângulo de 90^\circ e simetricamente disposto em relação ao ápice P do cilindro, conforme mostra a figura. Se a corda for levemente deslocada e começa a escorregar no sentido anti-horário, o ângulo \theta \equiv F\hat{O}P em que a partícula na extremidade F perde contato com a superfície é tal que

Corda com massas m nas extremidades F e G apoiada simetricamente no topo de um cilindro de centro O, raio r e ápice P, formando ângulos de 45° com a vertical tracejada.

A
2\cos\theta = 1.
B
2\cos\theta - \sen\theta = \sqrt{2}.
C
2\sen\theta + \cos\theta = \sqrt{2}.
D
2\cos\theta + \sen\theta = \sqrt{2}.
E
2\cos\theta + \sen\theta = \sqrt{2}/2.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Medimos o ângulo θ a partir da vertical OP. Inicialmente F está em θ = 45° (à esquerda) e G em 45° (à direita). A corda escorrega no sentido anti-horário: F desce para o lado esquerdo (θ aumenta) e G sobe em direção ao ápice (seu ângulo diminui). A corda mantém o comprimento, então se F está em θ, G está em \theta' = 90^\circ - \theta do outro lado, ou seja, o arco total entre eles continua 90^\circ e a corda desliza.

Na verdade, o ângulo de F medido a partir de P é θ, e G está a 90^\circ-\theta de P no lado oposto. Os dois ficam sobre a superfície, com a mesma velocidade escalar v (corda inextensível).

Energia: F desce de altura r\cos45^\circ para r\cos\theta; G sobe de r\cos45^\circ para r\cos(90^\circ-\theta)=r\sen\theta. Com \cos45^\circ=\sqrt2/2:

2\cdot\tfrac12 mv^2 = mg\left(r\cos 45^\circ - r\cos\theta\right) \cdot(-1)+ mg\left(r\cos45^\circ - r\sen\theta\right)\cdot(+1)

revisando: F desce, perdendo energia potencial mgr(\cos\theta_0\text{ não}...).

F vai para ângulos maiores, então sua altura diminui: \Delta U_F = mgr(\cos\theta - \sqrt2/2). G sobe: \Delta U_G = mgr(\sen\theta - \sqrt2/2), pois \cos(90^\circ-\theta)=\sen\theta. Logo

mv^2 = mgr\left(\sqrt2 - \cos\theta - \sen\theta\right)

Perda de contato de F: normal nula, só a componente radial do peso é a centrípeta (a tração é tangencial):

mg\cos\theta = \frac{mv^2}{r}\Rightarrow v^2=gr\cos\theta
Igualando: \cos\theta = \sqrt2-\cos\theta-\sen\theta, ou seja

2\cos\theta+\sen\theta=\sqrt2

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AIgnora a energia do outro corpo e o ganho de altura de G, usando apenas a condição de normal nula com v fixo.
BTroca o sinal do termo em seno, tratando G como se descesse.
CTroca os coeficientes de seno e cosseno, com a condição centrípeta mal aplicada.
EUsa √2/2 no lado direito, esquecendo que há duas partículas (fator 2 na energia).

Assuntos: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta), Energia mecânica e sua conservação.

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Fonte: ITA 2013 · Física. Prova oficial ↗