Questão 5 (Física) do ITA 2013

Question

Duas partículas, de massas m e M, estão respectivamente fixadas nas extremidades de uma barra de comprimento L e massa desprezível. Tal sistema é então apoiado no interior de uma casca hemisférica de raio r, de modo a se ter equilíbrio estático com m posicionado na borda P da casca e M, num ponto Q, conforme mostra a figura. Desconsiderando forças de atrito, a razão m/M entre as massas é igual a

Seção transversal de uma casca hemisférica de raio r com centro O na borda superior tracejada. Uma barra de comprimento L conecta a partícula de massa m na borda esquerda P à partícula de massa M apoiada no ponto Q da superfície interna.

A
(L^2 - 2r^2)/(2r^2).
B
(2L^2 - 3r^2)/(2r^2).
C
(L^2 - 2r^2)(r^2 - L^2).
D
(2L^2 - 3r^2)/(r^2 - L^2).
E
(3L^2 - 2r^2)/(L^2 - 2r^2).

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) do ITA 2013

Física · Física: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

do próton = 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg}, aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2 , 1\text{ atm} = 76\text{ cm Hg}, velocidade da luz no vácuo c = 3 \times 10^8\text{ m/s}.

Duas partículas, de massas m e M, estão respectivamente fixadas nas extremidades de uma barra de comprimento L e massa desprezível. Tal sistema é então apoiado no interior de uma casca hemisférica de raio r, de modo a se ter equilíbrio estático com m posicionado na borda P da casca e M, num ponto Q, conforme mostra a figura. Desconsiderando forças de atrito, a razão m/M entre as massas é igual a

Seção transversal de uma casca hemisférica de raio r com centro O na borda superior tracejada. Uma barra de comprimento L conecta a partícula de massa m na borda esquerda P à partícula de massa M apoiada no ponto Q da superfície interna.

A
(L^2 - 2r^2)/(2r^2).
B
(2L^2 - 3r^2)/(2r^2).
C
(L^2 - 2r^2)(r^2 - L^2).
D
(2L^2 - 3r^2)/(r^2 - L^2).
E
(3L^2 - 2r^2)/(L^2 - 2r^2).

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Como não há atrito, as únicas forças sobre o sistema (as duas partículas e a barra) são os pesos mg e Mg e as normais em P e em Q. A casca é esférica, então cada normal é radial e aponta para o centro O. Logo, as duas normais têm torque nulo em relação a O.

Para o equilíbrio, o torque total dos pesos em relação a O também deve ser nulo.

P está na borda, a uma distância horizontal r de O. Q está a uma distância horizontal x de O, do lado oposto a P.
Torques opostos dos pesos: mg\,r = Mg\,x, ou seja, \dfrac{m}{M}=\dfrac{x}{r}.
Para achar x, use coordenadas com O na origem: P=(-r,0) e Q=(x,-y). Como Q está na casca, x^2+y^2=r^2.
A distância PQ é L: (x+r)^2+y^2=L^2. Desenvolvendo, x^2+y^2+2xr+r^2=L^2.
Substituindo x^2+y^2=r^2: 2r^2+2xr=L^2, então x=\dfrac{L^2-2r^2}{2r}.
Portanto, \dfrac{m}{M}=\dfrac{x}{r}=\dfrac{L^2-2r^2}{2r^2}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BExpressão sem base física: não sai da condição de torque nulo em relação a O combinada com a lei dos cossenos no triângulo OPQ.
CProduto de termos sem sentido físico, que não corresponde à razão x/r obtida do equilíbrio de torques.
DDenominador r^2-L^2 é negativo, pois L>r, o que daria razão de massas negativa.
ECoeficientes incorretos, que não resultam do cálculo de x pela geometria do triângulo OPQ.

Assunto: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas.

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Fonte: ITA 2013 · Física. Prova oficial ↗