Questão 20 (Física) do ITA 2013

Para uma órbita elíptica, a energia mecânica total depende só do semieixo maior. Vamos mostrar isso usando os pontos de apogeu e perigeu.

1. Distâncias ao foco (onde está o planeta): perigeu r_p = a - e e apogeu r_a = a + e.

2. Conservação da energia entre os dois pontos:
   

   E = \frac{mv'^2}{2} - \frac{GMm}{a-e} = \frac{mv^2}{2} - \frac{GMm}{a+e}

3. Lei das áreas: v' (a-e) = v(a+e), ou seja, v = v'\dfrac{a-e}{a+e}. Substituindo na igualdade das energias e cancelando m:
   

   \frac{v'^2}{2}\left[1 - \frac{(a-e)^2}{(a+e)^2}\right] = GM\left[\frac{1}{a-e} - \frac{1}{a+e}\right]

4. Simplificando: o colchete da esquerda vale \dfrac{4ae}{(a+e)^2} e o da direita vale \dfrac{2e}{a^2-e^2}. Então
   

   v'^2 = \frac{GM(a+e)}{a(a-e)}

5. Energia no perigeu:
   

   E = m\left[\frac{GM(a+e)}{2a(a-e)} - \frac{GM}{a-e}\right] = \frac{GMm}{a-e}\cdot\frac{(a+e) - 2a}{2a} = \frac{GMm}{a-e}\cdot\frac{-(a-e)}{2a}
   
   
   E = -\frac{GMm}{2a}

É o resultado clássico: a energia depende apenas de a.

A alternativa E não vale, pois v'^2 = \dfrac{GM(a+e)}{a(a-e)}, que difere de \dfrac{2GM}{a-e} (só coincidiria se e = a).

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana ao lembrar a velocidade de escape \sqrt{2GM/r}, que só valeria para energia nula, mas a órbita elíptica é ligada (E<0).

Por que as outras alternativas estão erradas

• Busa o semieixo menor b, mas a energia depende só do semieixo maior a.
• Cusa a distância centro-foco e, que não determina a energia orbital.
• D\sqrt{a^2+b^2} não aparece na energia da órbita; é uma combinação sem significado físico aqui.
• Edaria v'^2=2GM/(a-e), que é a velocidade de escape no perigeu, não a da órbita elíptica ligada.

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Leis de Kepler.

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