Questão 6 (Física) do ITA 2012

Question

Um funil que gira com velocidade angular uniforme em torno do seu eixo vertical de simetria apresenta uma superfície cônica que forma um ângulo \theta com a horizontal, conforme a figura. Sobre esta supefície, uma pequena esfera gira com a mesma velocidade angular mantendo-se a uma distância d do eixo de rotação. Nestas condições, o período de rotação do funil é dado por

Esquema de um funil cônico que gira em torno de seu eixo vertical de simetria. A superfície cônica faz um ângulo θ com a horizontal. Uma pequena esfera situa-se na superfície cônica a uma distância horizontal d do eixo tracejado de rotação.

A
2\pi\sqrt{d/g\sen\theta}.
B
2\pi\sqrt{d/g\cos\theta}.
C
2\pi\sqrt{d/g\tan\theta}.
D
2\pi\sqrt{2d/g\sen 2\theta}.
E
2\pi\sqrt{d\cos\theta/g\tan\theta}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Física) do ITA 2012

Física · Física: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta)

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2; 1\text{ atm} = 10^5\text{ Pa}; Massa específica do ferro \rho = 7{,}8\text{ g/cm}^3. Raio da Terra R = 6400\text{ km}. Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ N/A}^2.

Um funil que gira com velocidade angular uniforme em torno do seu eixo vertical de simetria apresenta uma superfície cônica que forma um ângulo \theta com a horizontal, conforme a figura. Sobre esta supefície, uma pequena esfera gira com a mesma velocidade angular mantendo-se a uma distância d do eixo de rotação. Nestas condições, o período de rotação do funil é dado por

Esquema de um funil cônico que gira em torno de seu eixo vertical de simetria. A superfície cônica faz um ângulo θ com a horizontal. Uma pequena esfera situa-se na superfície cônica a uma distância horizontal d do eixo tracejado de rotação.

A
2\pi\sqrt{d/g\sen\theta}.
B
2\pi\sqrt{d/g\cos\theta}.
C
2\pi\sqrt{d/g\tan\theta}.
D
2\pi\sqrt{2d/g\sen 2\theta}.
E
2\pi\sqrt{d\cos\theta/g\tan\theta}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A esfera descreve uma circunferência horizontal de raio d, então a resultante das forças é horizontal e aponta para o eixo (força centrípeta). Como o enunciado não menciona atrito, as únicas forças são o peso mg (vertical, para baixo) e a normal N (perpendicular à superfície do cone).

A superfície forma o ângulo \theta com a horizontal. Logo, a normal forma o ângulo \theta com a vertical.

Componente vertical (sem aceleração vertical): N\cos\theta = mg.
Componente horizontal (centrípeta): N\sen\theta = m\omega^2 d.

Dividindo a segunda equação pela primeira:

\tg\theta = \frac{\omega^2 d}{g} \Rightarrow \omega^2 = \frac{g\tg\theta}{d}

Como \omega = \dfrac{2\pi}{T}:

T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{d}{g\tg\theta}}

Esse resultado coincide com a alternativa em que aparece d/(g\tg\theta) dentro da raiz.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa \sen\theta no denominador, o que não sai da divisão entre as componentes horizontal e vertical da normal.
Busa \cos\theta no denominador, o que não sai da divisão entre as componentes horizontal e vertical da normal.
Dsurge de uma manipulação trigonométrica com \sen 2\theta que não corresponde ao equilíbrio de forças do problema.
Einclui um fator \cos\theta no numerador que não existe, pois ele se cancela na divisão das equações.

Assunto: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta).

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Fonte: ITA 2012 · Física. Prova oficial ↗