Questão 2 (Física) do ITA 2012

Question

Considere uma rampa plana, inclinada de um ângulo \theta em relação à horizontal, no início da qual encontra-se um carrinho. Ele então recebe uma pancada que o faz subir até uma certa distância, durante o tempo t_s, descendo em seguida até sua posição inicial. A “viagem” completa dura um tempo total t. Sendo \mu o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a rampa, a relação t/t_s é igual a

A
2
B
1 + \sqrt{(\tan \theta + \mu)/|\tan \theta - \mu|}
C
1 + \sqrt{(\cos \theta + \mu)/|\cos \theta - \mu|}
D
1 + \sqrt{(\sen \theta + \mu)/|\cos \theta - \mu|}
E
1 - \sqrt{(\tan \theta + \mu)/|\tan \theta - \mu|}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) do ITA 2012

Física · Física: Plano inclinado

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2; 1\text{ atm} = 10^5\text{ Pa}; Massa específica do ferro \rho = 7{,}8\text{ g/cm}^3. Raio da Terra R = 6400\text{ km}. Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ N/A}^2.

Considere uma rampa plana, inclinada de um ângulo \theta em relação à horizontal, no início da qual encontra-se um carrinho. Ele então recebe uma pancada que o faz subir até uma certa distância, durante o tempo t_s, descendo em seguida até sua posição inicial. A “viagem” completa dura um tempo total t. Sendo \mu o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a rampa, a relação t/t_s é igual a

A
2
B
1 + \sqrt{(\tan \theta + \mu)/|\tan \theta - \mu|}
C
1 + \sqrt{(\cos \theta + \mu)/|\cos \theta - \mu|}
D
1 + \sqrt{(\sen \theta + \mu)/|\cos \theta - \mu|}
E
1 - \sqrt{(\tan \theta + \mu)/|\tan \theta - \mu|}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Chame de d a distância percorrida na subida. O carrinho sai do início com velocidade v_0 e para no ponto mais alto.

Subida: o peso (g\sen\theta) e o atrito (\mu g\cos\theta) apontam rampa abaixo, então a desaceleração é

a_s = g(\sen\theta + \mu\cos\theta)

Como o carrinho para no fim, d = \dfrac{a_s t_s^2}{2} (movimento uniformemente variado lido de trás para frente).

Descida: o carrinho parte do repouso. O peso aponta rampa abaixo e o atrito rampa acima, então

a_d = g(\sen\theta - \mu\cos\theta)

Na descida, d = \dfrac{a_d t_d^2}{2}. Para que ele desça é preciso \tg\theta > \mu; por isso o módulo aparece na resposta.

Igualando as distâncias:

a_s t_s^2 = a_d t_d^2 \Rightarrow \frac{t_d}{t_s} = \sqrt{\frac{a_s}{a_d}} = \sqrt{\frac{\sen\theta + \mu\cos\theta}{\sen\theta - \mu\cos\theta}}

Dividindo numerador e denominador por \cos\theta:

\frac{t_d}{t_s} = \sqrt{\frac{\tg\theta + \mu}{\tg\theta - \mu}}

Tempo total: t = t_s + t_d, logo

\frac{t}{t_s} = 1 + \sqrt{\frac{\tg\theta + \mu}{|\tg\theta - \mu|}}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

Asupõe tempos de subida e descida iguais, o que só vale sem atrito.
Cusa \cos\theta no lugar de \tg\theta, mas a razão das acelerações dá \tg\theta.
Dmistura \sen\theta no numerador com \cos\theta no denominador, o que não vem da razão das acelerações.
Etroca o sinal: o tempo total é a soma t_s + t_d, não a diferença.

Assuntos: Plano inclinado, Movimento uniformemente variado (MUV).

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Fonte: ITA 2012 · Física. Prova oficial ↗