Questão 1 (Física) do ITA 2012

Question

Ondas acústicas são ondas de compressão, ou seja, propagam-se em meios compressíveis. Quando uma barra metálica é golpeada em sua extremidade, uma onda longitudinal propaga-se por ela com velocidade v = \sqrt{Ea/\rho}. A grandeza E é conhecida como módulo de Young, enquanto \rho é a massa específica e a uma constante adimensional. Qual das alternativas é condizente à dimensão de E?

A
\text{J/m}^2
B
\text{N/m}^2
C
\text{J/s}\cdot\text{m}
D
\text{kg}\cdot\text{m/s}^2
E
\text{dyn/cm}^3

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Física) do ITA 2012

Física · Física: Unidades do SI e análise dimensional

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2; 1\text{ atm} = 10^5\text{ Pa}; Massa específica do ferro \rho = 7{,}8\text{ g/cm}^3. Raio da Terra R = 6400\text{ km}. Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ N/A}^2.

Ondas acústicas são ondas de compressão, ou seja, propagam-se em meios compressíveis. Quando uma barra metálica é golpeada em sua extremidade, uma onda longitudinal propaga-se por ela com velocidade v = \sqrt{Ea/\rho}. A grandeza E é conhecida como módulo de Young, enquanto \rho é a massa específica e a uma constante adimensional. Qual das alternativas é condizente à dimensão de E?

A
\text{J/m}^2
B
\text{N/m}^2
C
\text{J/s}\cdot\text{m}
D
\text{kg}\cdot\text{m/s}^2
E
\text{dyn/cm}^3

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Resolução comentada

Como a é adimensional, a análise dimensional depende só de v, E e \rho.

Elevando ao quadrado a expressão da velocidade: v^2 = \dfrac{Ea}{\rho}, logo E = \dfrac{\rho\, v^2}{a}.
Dimensões de cada grandeza: [\rho] = \text{kg/m}^3 e [v^2] = \text{m}^2/\text{s}^2.
Substituindo: [E] = \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot\dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} = \dfrac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}^2}.
Agora compare com as alternativas. Como 1\ \text{N} = \text{kg}\cdot\text{m/s}^2, temos \text{N/m}^2 = \dfrac{\text{kg}\cdot\text{m/s}^2}{\text{m}^2} = \dfrac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}^2}.

Essa é exatamente a dimensão de E: a de pressão (força por área), o que faz sentido, pois o módulo de Young relaciona tensão e deformação, e a deformação é adimensional.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem para em kg·m/s² (força); falta dividir pela área para obter pressão.

Por que as outras alternativas estão erradas

AJ/m² equivale a N/m (kg/s²), que é tensão superficial, não pressão.
CJ/s·m equivale a N·m/s·m = kg·m/s³ (se lido como J/(s·m)), potência por comprimento, não bate com kg/(m·s²).
Dkg·m/s² é a dimensão de força (newton), sem a divisão pela área.
Edyn/cm³ é força por volume, uma potência a mais no comprimento no denominador.

Assunto: Unidades do SI e análise dimensional.

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Fonte: ITA 2012 · Física. Prova oficial ↗