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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Física) do ITA 2012

Física · Física: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Aceleração da gravidade g = 10\text{ m/s}^2; 1\text{ atm} = 10^5\text{ Pa}; Massa específica do ferro \rho = 7{,}8\text{ g/cm}^3. Raio da Terra R = 6400\text{ km}. Permeabilidade magnética do vácuo \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ N/A}^2.

Em uma superfície líquida, na origem de um sistema de coordenadas encontra-se um emissor de ondas circulares transversais. Bem distante dessa origem, elas têm a forma aproximada dada por h_1(x, y, t) = h_0 \text{sen} (2\boldsymbol{\pi}(r/\lambda - ft)), em que \lambda é o comprimento de onda, f é a frequência e r, a distância de um ponto da onda até a origem. Uma onda plana transversal com a forma h_2(x, y, t) = h_0 \text{sen} (2\pi(x/\lambda - ft)) superpõe-se à primeira, conforme a figura. Na situação descrita, podemos afirmar, sendo \mathbb{Z} o conjunto dos números inteiros, que

Ondas circulares concêntricas propagando-se a partir da origem sobrepostas a ondas planas paralelas ao eixo y que se propagam na direção do eixo x positivo, com a indicação de um ponto de coordenadas (x_P, y_P).

  1. A
    nas posições (y_P^2/(2n\lambda)-n\lambda/8, y_P) as duas ondas estão em fase se n \in \mathbb{Z}.
  2. B
    nas posições (y_P^2/(2n\lambda)-n\lambda/2, y_P) as duas ondas estão em oposição de fase se n \in \mathbb{Z} e n \neq 0.
  3. C
    nas posições (y_P^2/(2n\lambda) - (n + 1/2)\lambda/2, y_P) as duas ondas estão em oposição de fase se n \in \mathbb{Z} e n \neq 0.
  4. D
    nas posições (y_P^2/((2n+1)\lambda)-(n+1/2)\lambda/2, y_P) as duas ondas estão em oposição de fase se n \in \mathbb{Z}.
  5. E
    na posição (2y_P^2/\lambda - \lambda/8, y_P) a diferença de fase entre as ondas é de 45^\circ.
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Resolução comentada

A fase de cada onda é o argumento do seno. Na primeira, \varphi_1 = 2\pi(r/\lambda - ft); na segunda, \varphi_2 = 2\pi(x/\lambda - ft). O termo ft é igual nas duas e se cancela na diferença:

\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}(r - x)

Em um ponto (x, y), r = \sqrt{x^2+y^2}. Em fase: r - x = n\lambda. Em oposição de fase: r - x = (n+\tfrac12)\lambda.

Isolando x em r - x = d:

  1. r = x + d, logo x^2 + y^2 = x^2 + 2xd + d^2.
  2. x = \dfrac{y^2 - d^2}{2d} = \dfrac{y^2}{2d} - \dfrac{d}{2}.

Em fase, com d = n\lambda: x = \dfrac{y^2}{2n\lambda} - \dfrac{n\lambda}{2}, com n \neq 0 (para n=0 a fórmula é indefinida). Isso não bate com a (A) nem com a (B), que fala de oposição de fase.

Em oposição, com d = (n+\tfrac12)\lambda = (2n+1)\lambda/2:

x = \frac{y^2}{(2n+1)\lambda} - \frac{(2n+1)\lambda}{4} = \frac{y^2}{(2n+1)\lambda} - \left(n+\tfrac12\right)\frac{\lambda}{2}

Isso coincide com a (D). Como 2n+1 nunca é zero, vale para todo n inteiro, sem restrição. (Observe que d>0 exige x<r, ou seja, tudo bem para n \geq 0; para n negativo o resultado é o mesmo conjunto de pontos com d<0, que também é válido, pois a condição r-x=d com d<0 pede x>0 e continua consistente.)

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO termo -n\lambda/8 está errado; o correto para fase seria -n\lambda/2 e com n\neq0.
  • BA posição dada é a de ondas em fase, não em oposição de fase.
  • CMistura 2n\lambda no denominador com (n+1/2) no segundo termo, que são incompatíveis.
  • EPara essa posição, r-x=\lambda/4 e a diferença de fase seria 90^\circ, não 45^\circ (e a posição não é consistente).

Assuntos: Fenômenos ondulatórios: interferência, difração e polarização, Ondas: conceitos e equação fundamental.

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Fonte: ITA 2012 · Física. Prova oficial ↗