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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Física) do ITA 2011

Física · Física: Unidades do SI e análise dimensional

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Aceleração da gravidade = 10\ \text{m/s}^2

Densidade da água = 1{,}0\ \text{g/cm}^3

Velocidade de som no ar = 340\ \text{m/s}

Comprimento de onda médio da luz = 570\ \text{nm}

Um exercício sobre a dinâmica da partícula tem seu início assim enunciado : Uma partícula está se movendo com uma aceleração cujo módulo é dado por \mu (r + a^3/r^2) , sendo r a distância entre a origem e a partícula. Considere que a partícula foi lançada a partir de uma distância a com uma velocidade inicial 2\sqrt{\mu a}. Existe algum erro conceitual nesse enunciado ? Por que razão?

  1. A
    Não, porque a expressão para a velocidade é consistente com a da aceleração;
  2. B
    Sim, porque a expressão correta para a velocidade seria 2a^2\sqrt{\mu};
  3. C
    Sim, porque a expressão correta para a velocidade seria 2a^2\sqrt{\mu/r};
  4. D
    Sim, porque a expressão correta para a velocidade seria 2\sqrt{a^2\mu/r};
  5. E
    Sim, porque a expressão correta para a velocidade seria 2a\sqrt{\mu};
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Resolução comentada

A questão é de análise dimensional: toda expressão física precisa ter as mesmas dimensões nos dois lados, e só podemos somar grandezas de mesma dimensão.

  1. A aceleração é \mu(r + a^3/r^2). Como r e a são comprimentos, a^3/r^2 tem dimensão de comprimento (L^3/L^2 = L), e a soma com r é coerente.

  2. A aceleração tem dimensão L\,T^{-2}. Então \mu\cdot L = L\,T^{-2}, o que dá [\mu] = T^{-2}.

  3. Verificando a velocidade dada, 2\sqrt{\mu a}:

    [\sqrt{\mu a}] = \sqrt{T^{-2}\,L} = L^{1/2}\,T^{-1}

    A velocidade deveria ter dimensão L\,T^{-1}. Portanto há erro conceitual no enunciado.

  4. Para corrigir, a expressão precisa ser \sqrt{\mu} (que dá T^{-1}) multiplicada por um comprimento. Com os dados do problema, esse comprimento é a, a distância inicial:

    v = 2a\sqrt{\mu}\ \Rightarrow\ [v] = L\,T^{-1}

  5. Conferindo as outras opções: 2a^2\sqrt{\mu} tem dimensão L^2T^{-1}, e as que contêm r no denominador dependem de uma variável, mas a velocidade inicial é em r=a. Em r=a, a opção C daria 2a^{3/2}\sqrt{\mu} e a D daria 2\sqrt{a\mu}, ambas dimensionalmente erradas.

A única dimensionalmente correta é 2a\sqrt{\mu}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A\sqrt{\mu a} tem dimensão L^{1/2}T^{-1}, não de velocidade; não é consistente.
  • B2a^2\sqrt{\mu} tem dimensão L^2T^{-1}, não LT^{-1}.
  • C2a^2\sqrt{\mu/r} tem dimensão L^{3/2}T^{-1}, incorreta.
  • D2\sqrt{a^2\mu/r} tem dimensão L^{1/2}T^{-1}, a mesma do enunciado errado.

Assunto: Unidades do SI e análise dimensional.

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Fonte: ITA 2011 · Física. Prova oficial ↗