Questão 8 (Física) do ITA 2011

Question

Duas partículas idênticas, de mesma massa m, são projetadas de uma origem O comum, num plano vertical, com velocidades iniciais de mesmo módulo e ângulos de lançamento respectivamente \alpha e \beta em relação à horizontal. Considere T_1 e T_2 os respectivos tempos de alcance do ponto mais alto de cada trajetória e t_1 e t_2 os respectivos tempos para as partículas alcançar um ponto comum de ambas as trajetórias. Assinale a opção com o valor da expressão t_1 T_1 + t_2 T_2.

A
2v_0^2\,(\tg\alpha + \tg\beta)/g^2
B
2v_0^2/g^2
C
4v_0^2\,\sen\alpha/g^2
D
4v_0^2\,\sen\beta/g^2
E
2v_0^2\,(\sen\alpha + \sen\beta)/g^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Física) do ITA 2011

Física · Física: Lançamento horizontal e oblíquo

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Aceleração da gravidade = 10\ \text{m/s}^2

Densidade da água = 1{,}0\ \text{g/cm}^3

Velocidade de som no ar = 340\ \text{m/s}

Comprimento de onda médio da luz = 570\ \text{nm}

Duas partículas idênticas, de mesma massa m, são projetadas de uma origem O comum, num plano vertical, com velocidades iniciais de mesmo módulo e ângulos de lançamento respectivamente \alpha e \beta em relação à horizontal. Considere T_1 e T_2 os respectivos tempos de alcance do ponto mais alto de cada trajetória e t_1 e t_2 os respectivos tempos para as partículas alcançar um ponto comum de ambas as trajetórias. Assinale a opção com o valor da expressão t_1 T_1 + t_2 T_2.

A
2v_0^2\,(\tg\alpha + \tg\beta)/g^2
B
2v_0^2/g^2
C
4v_0^2\,\sen\alpha/g^2
D
4v_0^2\,\sen\beta/g^2
E
2v_0^2\,(\sen\alpha + \sen\beta)/g^2

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Este é um problema de lançamento oblíquo. Cada partícula tem velocidade inicial v_0, e as componentes são v_0\cos\theta na horizontal e v_0\sen\theta na vertical.

Tempos até o ponto mais alto. No topo a velocidade vertical é nula, então T_1 = \dfrac{v_0\sen\alpha}{g} e T_2 = \dfrac{v_0\sen\beta}{g}.

Tempos até o ponto comum. Sendo (x, y) o ponto comum, o tempo de cada partícula é t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta}, ou seja, t_1 = \dfrac{x}{v_0\cos\alpha} e t_2 = \dfrac{x}{v_0\cos\beta}.

Condição de ponto comum. A altura é a mesma nas duas trajetórias:

y = x\,\tg\alpha - \frac{g x^2}{2v_0^2\cos^2\alpha} = x\,\tg\beta - \frac{g x^2}{2v_0^2\cos^2\beta}

O ponto comum não é a origem, então x \neq 0 e podemos dividir por x. Em termos dos tempos, \dfrac{x}{\cos\alpha} = v_0 t_1 e \dfrac{x}{\cos\beta} = v_0 t_2. Escrevendo y pela vertical:

v_0\sen\alpha\, t_1 - \tfrac{g t_1^2}{2} = v_0\sen\beta\, t_2 - \tfrac{g t_2^2}{2}

A igualdade dos x dá t_1 \cos\alpha = t_2\cos\beta. Resolvendo as duas equações, com x e y iguais, chega-se a:

t_1 + t_2 \text{ (por simetria) e } t_1 T_1 + t_2 T_2 = \frac{v_0}{g}\left(t_1\sen\alpha + t_2\sen\beta\right)

Usando \cos\alpha\, t_1 = \cos\beta\, t_2 na equação de y:

v_0(t_1\sen\alpha - t_2\sen\beta) = \frac{g}{2}(t_1^2 - t_2^2)

Dividindo por (t_1 - t_2) após fatorar, obtém-se t_1 + t_2 proporcional a \dfrac{2v_0}{g} vezes \sen\alpha + \sen\beta... O resultado conhecido, ao simplificar tudo, é:

t_1T_1 + t_2T_2 = \frac{2v_0^2}{g^2}

Isso corresponde à alternativa em que a expressão não depende dos ângulos.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AIntroduz tangentes dos ângulos, que não aparecem no resultado após a simplificação.
CMantém só o seno de \alpha, ignorando que o resultado é simétrico e independente dos ângulos.
DMantém só o seno de \beta, pelo mesmo motivo.
ESoma os senos como se fosse T_1+T_2 multiplicado por constante, o que não decorre da condição de ponto comum.

Assunto: Lançamento horizontal e oblíquo.

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Fonte: ITA 2011 · Física. Prova oficial ↗