Questão 6 (Física) do ITA 2011

Question

Um corpo de massa M, inicialmente em repouso, é erguido por uma corda de massa desprezível até uma altura H, onde fica novamente em repouso. Considere que a maior tração que a corda pode suportar tenha módulo igual a nMg, em que n > 1. Qual deve ser o menor tempo possível para ser feito o erguimento desse corpo?

A
\sqrt{\frac{2H}{(n-1)g}}
B
\sqrt{\frac{2nH}{(n-1)g}}
C
\sqrt{\frac{nH}{2(n-1)^2g}}
D
\sqrt{\frac{4nH}{(n-2)g}}
E
\sqrt{\frac{4nH}{(n-1)g}}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Física) do ITA 2011

Física · Física: Leis de Newton e aplicações

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Aceleração da gravidade = 10\ \text{m/s}^2

Densidade da água = 1{,}0\ \text{g/cm}^3

Velocidade de som no ar = 340\ \text{m/s}

Comprimento de onda médio da luz = 570\ \text{nm}

Um corpo de massa M, inicialmente em repouso, é erguido por uma corda de massa desprezível até uma altura H, onde fica novamente em repouso. Considere que a maior tração que a corda pode suportar tenha módulo igual a nMg, em que n > 1. Qual deve ser o menor tempo possível para ser feito o erguimento desse corpo?

A
\sqrt{\frac{2H}{(n-1)g}}
B
\sqrt{\frac{2nH}{(n-1)g}}
C
\sqrt{\frac{nH}{2(n-1)^2g}}
D
\sqrt{\frac{4nH}{(n-2)g}}
E
\sqrt{\frac{4nH}{(n-1)g}}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O corpo parte do repouso e termina em repouso a uma altura H. Logo, ele precisa acelerar para cima e depois frear. O menor tempo ocorre quando a tração é máxima na subida acelerada e, depois, a corda deixa de puxar (tração nula), de modo que a desaceleração seja a maior possível, igual a g.

Fase 1 (aceleração): com T = nMg, a segunda lei de Newton dá

nMg - Mg = Ma_1 \Rightarrow a_1 = (n-1)g

Fase 2 (frenagem): com a corda frouxa, só o peso atua e a desaceleração é a_2 = g.

Se v é a velocidade máxima, h_1 e h_2 são as alturas das duas fases e t_1 e t_2 são os tempos:

h_1 = \dfrac{v^2}{2(n-1)g} e h_2 = \dfrac{v^2}{2g}.
H = h_1 + h_2 = \dfrac{v^2}{2g}\left(\dfrac{1}{n-1}+1\right) = \dfrac{v^2}{2g}\cdot\dfrac{n}{n-1}.
Daí, v^2 = \dfrac{2(n-1)gH}{n}.
Os tempos são t_1 = \dfrac{v}{(n-1)g} e t_2 = \dfrac{v}{g}, então

t = \frac{v}{g}\left(\frac{1}{n-1}+1\right) = \frac{v}{g}\cdot\frac{n}{n-1}
Elevando ao quadrado:

t^2 = \frac{2(n-1)gH}{n}\cdot\frac{n^2}{g^2(n-1)^2} = \frac{2nH}{(n-1)g}

Portanto,

t = \sqrt{\frac{2nH}{(n-1)g}}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera apenas a fase de aceleração, esquecendo que o corpo precisa frear até parar em H.
CExpressão sem fundamento, com (n-1)^2 no denominador, resultante de erro algébrico ao combinar os tempos.
DAparece (n-2), que não surge em nenhuma etapa; supõe aceleração errada.
ETem fator 4 em vez de 2, como se fosse dobrado o tempo ou usasse H/2 por fase de modo simétrico.

Assuntos: Leis de Newton e aplicações, Movimento uniformemente variado (MUV).

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Fonte: ITA 2011 · Física. Prova oficial ↗