Questão 5 (Física) do ITA 2011

Question

Sobre uma mesa sem atrito, uma bola de massa M é presa por duas molas alinhadas, de constante de mola k e comprimento natural \ell_0, fixadas nas extremidades da mesa. Então, a bola é deslocada a uma distância x na direção perpendicular à linha inicial das molas, como mostra a figura, sendo solta a seguir. Obtenha a aceleração da bola, usando a aproximação (1 + a)^\alpha = 1 + \alpha a.

$Esquema de uma bola de massa M presa entre duas molas fixadas a suportes verticais. Uma linha tracejada horizontal de comprimento total 2\ell_0 indica a posição de equilíbrio inicial, e a distância x perpendicular a ela indica o deslocamento da bola.$

A
a = -kx/M
B
a = -kx^2/2M\ell_0
C
a = -kx^2/M\ell_0
D
a = -kx^3/2M\ell_0^2
E
a = -kx^3/M\ell_0^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) do ITA 2011

Física · Física: Força elástica e lei de Hooke

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Aceleração da gravidade = 10\ \text{m/s}^2

Densidade da água = 1{,}0\ \text{g/cm}^3

Velocidade de som no ar = 340\ \text{m/s}

Comprimento de onda médio da luz = 570\ \text{nm}

Sobre uma mesa sem atrito, uma bola de massa M é presa por duas molas alinhadas, de constante de mola k e comprimento natural \ell_0, fixadas nas extremidades da mesa. Então, a bola é deslocada a uma distância x na direção perpendicular à linha inicial das molas, como mostra a figura, sendo solta a seguir. Obtenha a aceleração da bola, usando a aproximação (1 + a)^\alpha = 1 + \alpha a.

$Esquema de uma bola de massa M presa entre duas molas fixadas a suportes verticais. Uma linha tracejada horizontal de comprimento total 2\ell_0 indica a posição de equilíbrio inicial, e a distância x perpendicular a ela indica o deslocamento da bola.$

A
a = -kx/M
B
a = -kx^2/2M\ell_0
C
a = -kx^2/M\ell_0
D
a = -kx^3/2M\ell_0^2
E
a = -kx^3/M\ell_0^2

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Na posição de equilíbrio inicial, cada mola tem comprimento natural \ell_0, ou seja, não está deformada. Ao deslocar a bola de x na perpendicular, cada mola passa a ter comprimento L=\sqrt{\ell_0^2+x^2}.

Alongamento de cada mola: \Delta = L-\ell_0 = \ell_0\left[\left(1+\dfrac{x^2}{\ell_0^2}\right)^{1/2}-1\right].
Pela aproximação dada, com a=x^2/\ell_0^2 e \alpha=1/2: \Delta \approx \ell_0\cdot\dfrac{x^2}{2\ell_0^2}=\dfrac{x^2}{2\ell_0}.
Força de cada mola: F=k\Delta=\dfrac{kx^2}{2\ell_0}, dirigida ao longo da mola.
Só a componente na direção de x importa, pois as componentes horizontais se cancelam. O seno do ângulo com a horizontal é \sen\theta = x/L \approx x/\ell_0 (para x\ll\ell_0).
Força resultante das duas molas: F_R = 2\cdot\dfrac{kx^2}{2\ell_0}\cdot\dfrac{x}{\ell_0}=\dfrac{kx^3}{\ell_0^2}, sempre apontando para a posição de equilíbrio.
Segunda lei de Newton: Ma=-\dfrac{kx^3}{\ell_0^2}, então a=-\dfrac{kx^3}{M\ell_0^2}.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem projeta a força corretamente, mas esquece que são duas molas, o que cancela o fator 1/2.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASupõe força restauradora linear, como se as molas estivessem esticadas na direção do movimento, ignorando a geometria.
BUsa só a força de uma mola e esquece a projeção da força na direção x.
CSoma as duas molas, mas esquece de projetar a força (falta o fator x/ℓ₀).
DConsidera a projeção, mas usa a força de apenas uma mola, esquecendo o fator 2 das duas molas.

Assuntos: Força elástica e lei de Hooke, Leis de Newton e aplicações.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Fonte: ITA 2011 · Física. Prova oficial ↗