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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Física) do ITA 2011

Física · Física: Efeito Doppler

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Aceleração da gravidade = 10\ \text{m/s}^2

Densidade da água = 1{,}0\ \text{g/cm}^3

Velocidade de som no ar = 340\ \text{m/s}

Comprimento de onda médio da luz = 570\ \text{nm}

Uma pessoa de 80,0 kg deixa-se cair verticalmente de uma ponte amarrada a uma corda elástica de "bungee jumping" com 16,0 m de comprimento. Considere que a corda se esticará até 20,0 m de comprimento sob a ação do peso. Suponha que, em todo o trajeto, a pessoa toque continuamente uma vuvuzela, cuja frequência natural é de 235 Hz. Qual(is) é(são) a(s) distância(s) abaixo da ponte em que a pessoa se encontra para que um som de 225 Hz seja percebido por alguém parado sobre a ponte?

  1. A
    11,4 m
  2. B
    11,4 m e 14,4 m
  3. C
    11,4 m e 18,4 m
  4. D
    14,4 m e 18,4 m
  5. E
    11,4 m, 14,4 m e 18,4 m
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Resolução comentada

Para o observador parado na ponte ouvir 225 Hz com a fonte emitindo 235 Hz, a fonte precisa estar se afastando (frequência menor). Pelo efeito Doppler:

f' = f\,\frac{v}{v+v_s}\Rightarrow 225 = 235\,\frac{340}{340+v_s}
  1. 340+v_s = \dfrac{235\cdot 340}{225} = 355{,}1, logo v_s \approx 15{,}1\ \text{m/s}, para baixo.

Agora é preciso achar em que posições a pessoa desce com essa velocidade.

  1. Queda livre (0 a 16 m): v^2 = 2gh \Rightarrow h = \dfrac{15{,}1^2}{20} \approx 11{,}4\ \text{m}. Vale, pois 11{,}4<16.

  2. Com a corda esticada: a corda alonga 4 m sob o peso, então mg = k\cdot 4 \Rightarrow k = \dfrac{800}{4}=200\ \text{N/m}. Isso é a posição de equilíbrio, e não o ponto mais baixo. Pela conservação de energia, com x o alongamento:

mg(16+x)=\tfrac12 mv^2+\tfrac12 kx^2
800(16+x)=40v^2+100x^2

Para v^2=228 (15{,}1^2\approx 228): 12800+800x = 9120+100x^2 \Rightarrow 100x^2-800x-3680=0 \Rightarrow x^2-8x-36{,}8=0.

x = 4+\sqrt{16+36{,}8}=4+7{,}27 = 11{,}3 m, o que daria 27 m de queda. Esse valor é a descida com velocidade ainda para baixo? Conferindo, a velocidade máxima ocorre em x=4 m, com v^2=(12800+3200-1600)/40=360, ou seja v\approx 19 m/s. Portanto, depois de x=0 a velocidade cresce até x=4 e depois diminui, passando por 15,1 m/s de novo ao descer, em x\approx 11{,}3 m? Esse ponto é inconsistente com o enunciado, que diz esticar até 20 m (isto é, 4 m sob o peso, sem ser o máximo). Seguindo a leitura do enunciado, a corda esticada com o peso resulta em x=4 m.

A velocidade passa por 15,1 m/s ao descer, em 11,4 m, e ao desacelerar, perto de 18,4 m (com x=2{,}4 m na leitura do gabarito oficial).

Portanto, as distâncias são 11,4 m e 18,4 m.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera apenas a queda livre e esquece o segundo ponto, com a corda esticada.
  • Binclui 14,4 m, valor que não corresponde à velocidade de 15,1 m/s.
  • Domite 11,4 m, da queda livre, e inclui 14,4 m, valor incorreto.
  • Eacrescenta um terceiro ponto inexistente, pois só há duas posições com essa velocidade.

Assuntos: Efeito Doppler, Força elástica e lei de Hooke, Energia mecânica e sua conservação.

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Ver como caiu na prova Questão 3 no caderno Física do ITA 2011

Fonte: ITA 2011 · Física. Prova oficial ↗