Questão 7 (Física) do ITA 2010

Question

Considere um semicilindro de peso P e raio R sobre um plano horizontal não liso, mostrado em corte na figura. Uma barra homogênea de comprimento L e peso Q está articulada no ponto \text{O}. A barra está apoiada na superfície lisa do semicilindro, formando um ângulo \alpha com a vertical. Quanto vale o coeficiente de atrito mínimo entre o semicilindro e o plano horizontal para que o sistema todo permaneça em equilíbrio?

Barra homogênea de comprimento L articulada no ponto O a uma altura h do solo e inclinada de um ângulo alfa com a vertical, apoiada sobre um semicilindro de raio R que repousa sobre uma superfície horizontal.

A
\mu = \cos \alpha/[\cos \alpha + 2P (2h/LQ \cos(2\alpha) - R/LQ \sen \alpha)]
B
\mu = \cos \alpha/[\cos \alpha + P (2h/LQ \sen(2\alpha) - 2R/LQ \cos \alpha)]
C
\mu = \cos \alpha/[\sen \alpha + 2P (2h/LQ \sen(2\alpha) - R/LQ \cos \alpha)]
D
\mu = \sen \alpha/[\sen \alpha + 2P (2h/LQ \cos(\alpha) - 2R/LQ \cos \alpha)]
E
\mu = \sen \alpha/[\cos \alpha + P (2h/LQ \sen(\alpha) - 2R/LQ \cos \alpha)]

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Física) do ITA 2010

Física · Física: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante gravitacional G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{s}^2\text{kg}. Massa do Sol M = 1{,}99 \times 10^{30}\text{ kg}. Velocidade da luz c = 3 \times 10^8\text{ m/s}. Distância média do centro da Terra ao centro do Sol: 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m}. Aceleração da gravidade g = 9{,}8\text{ m/s}^2. Raio da Terra: 6380\text{ km}. Número de Avogadro: 6{,}023 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}. Constante universal dos gases: 8{,}31\text{ J/molK}. Massa atômica do nitrogênio: 14. Constante de Planck h = 6{,}62 \times 10^{-34}\text{ m}^2\text{kg/s}. Permissividade do vácuo: \varepsilon_0 = 1/4\pi k_0. Permeabilidade magnética do vácuo: \mu_0.

Considere um semicilindro de peso P e raio R sobre um plano horizontal não liso, mostrado em corte na figura. Uma barra homogênea de comprimento L e peso Q está articulada no ponto \text{O}. A barra está apoiada na superfície lisa do semicilindro, formando um ângulo \alpha com a vertical. Quanto vale o coeficiente de atrito mínimo entre o semicilindro e o plano horizontal para que o sistema todo permaneça em equilíbrio?

Barra homogênea de comprimento L articulada no ponto O a uma altura h do solo e inclinada de um ângulo alfa com a vertical, apoiada sobre um semicilindro de raio R que repousa sobre uma superfície horizontal.

A
\mu = \cos \alpha/[\cos \alpha + 2P (2h/LQ \cos(2\alpha) - R/LQ \sen \alpha)]
B
\mu = \cos \alpha/[\cos \alpha + P (2h/LQ \sen(2\alpha) - 2R/LQ \cos \alpha)]
C
\mu = \cos \alpha/[\sen \alpha + 2P (2h/LQ \sen(2\alpha) - R/LQ \cos \alpha)]
D
\mu = \sen \alpha/[\sen \alpha + 2P (2h/LQ \cos(\alpha) - 2R/LQ \cos \alpha)]
E
\mu = \sen \alpha/[\cos \alpha + P (2h/LQ \sen(\alpha) - 2R/LQ \cos \alpha)]

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Barra. Como o semicilindro é liso, a força N que ele exerce na barra é perpendicular à barra e passa pelo centro C do semicilindro. Seja d a distância de O ao ponto de contato, medida ao longo da barra.

Tomando torques em relação a O, o peso Q age no meio da barra, a um braço horizontal \frac{L}{2}\sen\alpha:

N\,d = Q\,\frac{L}{2}\sen\alpha

Cálculo de d. Coloque O em (0,h) e C em (x_c,0). A distância de C à reta da barra vale R, e d é a projeção de OC sobre a barra:

x_c\cos\alpha + h\sen\alpha = R, o que dá x_c=\dfrac{R-h\sen\alpha}{\cos\alpha};
d = h\cos\alpha - x_c\sen\alpha = \dfrac{h-R\sen\alpha}{\cos\alpha}.

Portanto:

N=\frac{QL\sen\alpha\cos\alpha}{2(h-R\sen\alpha)}

Semicilindro. A barra empurra o semicilindro com N para baixo e para a direita. A componente horizontal é N\cos\alpha e a vertical é N\sen\alpha.

Atrito necessário: f=N\cos\alpha.
Normal do chão: N_{chão}=P+N\sen\alpha.

No limite, f=\mu N_{chão}:

\mu=\frac{N\cos\alpha}{P+N\sen\alpha}=\frac{\cos\alpha}{\sen\alpha+P/N}

Substituindo N e usando \sen\alpha\cos\alpha=\tfrac12\sen2\alpha:

\frac{P}{N}=\frac{2P(h-R\sen\alpha)}{QL\sen\alpha\cos\alpha}=2P\left(\frac{2h}{LQ\,\sen2\alpha}-\frac{R}{LQ\cos\alpha}\right)

Logo:

\mu=\frac{\cos\alpha}{\sen\alpha+2P\left(\dfrac{2h}{LQ}\dfrac{1}{\sen2\alpha}-\dfrac{R}{LQ\cos\alpha}\right)}

Essa expressão corresponde à alternativa C, que escreve o termo \dfrac{2h}{LQ\,\sen 2\alpha} como \dfrac{2h}{LQ}\sen(2\alpha) no enunciado.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ATem \cos\alpha no denominador no lugar de \sen\alpha e usa \cos(2\alpha) e \sen\alpha nos termos entre parênteses, o que não sai do torque.
BDenominador com \cos\alpha em vez de \sen\alpha, e fator P sem o 2 com 2R deslocado.
DNumerador \sen\alpha e \cos\alpha no lugar de \sen 2\alpha trocam as componentes da força de contato.
ENumerador \sen\alpha e termos com \sen\alpha simples: confunde as componentes horizontal e vertical de N.

Assuntos: Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas, Atrito e resistência do ar.

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Fonte: ITA 2010 · Física. Prova oficial ↗