Questão 6 (Física) do ITA 2010

Question

Um quadro quadrado de lado \ell e massa m, feito de um material de coeficiente de dilatação superficial \beta, é pendurado no pino O por uma corda inextensível, de massa desprezível, com as extremidades fixadas no meio das arestas laterais do quadro, conforme a figura. A força de tração máxima que a corda pode suportar é F. A seguir, o quadro é submetido a uma variação de temperatura \Delta T, dilatando. Considerando desprezível a variação no comprimento da corda devida à dilatação, podemos afirmar que o comprimento mínimo da corda para que o quadro possa ser pendurado com segurança é dado por

$Quadro quadrado de lado $\ell$ suspenso em um pino O por uma corda fixada no ponto médio de suas laterais.$

A
2\ell F\sqrt{\beta\Delta T}/mg.
B
2\ell F (1 + \beta\Delta T)/mg.
C
2\ell F (1 + \beta\Delta T)/\sqrt{(4F^2 - m^2g^2)}.
D
2\ell F\sqrt{(1 + \beta\Delta T)}/(2F - mg).
E
2\ell F\sqrt{(1 + \beta\Delta T)/(4F^2 - m^2g^2)}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Física) do ITA 2010

Física · Física: Equilíbrio do ponto material

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante gravitacional G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{s}^2\text{kg}. Massa do Sol M = 1{,}99 \times 10^{30}\text{ kg}. Velocidade da luz c = 3 \times 10^8\text{ m/s}. Distância média do centro da Terra ao centro do Sol: 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m}. Aceleração da gravidade g = 9{,}8\text{ m/s}^2. Raio da Terra: 6380\text{ km}. Número de Avogadro: 6{,}023 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}. Constante universal dos gases: 8{,}31\text{ J/molK}. Massa atômica do nitrogênio: 14. Constante de Planck h = 6{,}62 \times 10^{-34}\text{ m}^2\text{kg/s}. Permissividade do vácuo: \varepsilon_0 = 1/4\pi k_0. Permeabilidade magnética do vácuo: \mu_0.

Um quadro quadrado de lado \ell e massa m, feito de um material de coeficiente de dilatação superficial \beta, é pendurado no pino O por uma corda inextensível, de massa desprezível, com as extremidades fixadas no meio das arestas laterais do quadro, conforme a figura. A força de tração máxima que a corda pode suportar é F. A seguir, o quadro é submetido a uma variação de temperatura \Delta T, dilatando. Considerando desprezível a variação no comprimento da corda devida à dilatação, podemos afirmar que o comprimento mínimo da corda para que o quadro possa ser pendurado com segurança é dado por

$Quadro quadrado de lado $\ell$ suspenso em um pino O por uma corda fixada no ponto médio de suas laterais.$

A
2\ell F\sqrt{\beta\Delta T}/mg.
B
2\ell F (1 + \beta\Delta T)/mg.
C
2\ell F (1 + \beta\Delta T)/\sqrt{(4F^2 - m^2g^2)}.
D
2\ell F\sqrt{(1 + \beta\Delta T)}/(2F - mg).
E
2\ell F\sqrt{(1 + \beta\Delta T)/(4F^2 - m^2g^2)}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Depois da dilatação, a área do quadro passa a ser \ell^2(1+\beta\Delta T). Logo o novo lado é \ell' = \ell\sqrt{1+\beta\Delta T}, e a meia largura é \ell'/2.

A corda tem duas metades iguais, cada uma de comprimento L/2, e as duas formam um ângulo \theta com a horizontal. O quadro está em equilíbrio, então a componente vertical das trações sustenta o peso:

2T\,\sen\theta = mg

A tração é máxima quando T=F. Quanto menor o ângulo \theta, maior a tração, então o comprimento mínimo da corda corresponde a T=F:

\sen\theta = \frac{mg}{2F}

Portanto \cos\theta = \dfrac{\sqrt{4F^2 - m^2g^2}}{2F}.

No triângulo formado por metade da corda, a projeção horizontal vale \ell'/2 e a hipotenusa vale L/2:

\cos\theta = \frac{\ell'/2}{L/2} = \frac{\ell'}{L}

Isolando L:

L = \frac{\ell'}{\cos\theta} = \frac{\ell\sqrt{1+\beta\Delta T}\cdot 2F}{\sqrt{4F^2 - m^2g^2}}

Ou seja:

L = \frac{2\ell F\sqrt{1+\beta\Delta T}}{\sqrt{4F^2 - m^2g^2}}

Essa expressão coincide com a da alternativa E, pois \sqrt{(1+\beta\Delta T)/(4F^2-m^2g^2)} multiplicada por 2\ell F dá o mesmo resultado.

Alternativa E.

Pegadinha: A dilatação é superficial, então o lado cresce com \sqrt{1+\beta\Delta T}; as alternativas B e C usam o fator sem a raiz.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa \sqrt{\beta\Delta T}, ignorando o lado original, e não considera o equilíbrio com o ângulo da corda.
BUsa o fator (1+\beta\Delta T) sem raiz, tratando a dilatação superficial como linear, e a trigonometria está errada.
CNão extrai a raiz de (1+\beta\Delta T): o lado cresce com \sqrt{1+\beta\Delta T}, não com 1+\beta\Delta T.
DColoca 2F-mg no denominador, sem a raiz de 4F^2-m^2g^2 que vem do cosseno.

Assuntos: Equilíbrio do ponto material, Dilatação térmica.

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Fonte: ITA 2010 · Física. Prova oficial ↗