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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) do ITA 2010

Física · Física: Força elástica e lei de Hooke

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante gravitacional G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{s}^2\text{kg}. Massa do Sol M = 1{,}99 \times 10^{30}\text{ kg}. Velocidade da luz c = 3 \times 10^8\text{ m/s}. Distância média do centro da Terra ao centro do Sol: 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m}. Aceleração da gravidade g = 9{,}8\text{ m/s}^2. Raio da Terra: 6380\text{ km}. Número de Avogadro: 6{,}023 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}. Constante universal dos gases: 8{,}31\text{ J/molK}. Massa atômica do nitrogênio: 14. Constante de Planck h = 6{,}62 \times 10^{-34}\text{ m}^2\text{kg/s}. Permissividade do vácuo: \varepsilon_0 = 1/4\pi k_0. Permeabilidade magnética do vácuo: \mu_0.

No plano inclinado, o corpo de massa m é preso a uma mola de constante elástica k, sendo barrado à frente por um anteparo. Com a mola no seu comprimento natural, o anteparo, de alguma forma, inicia seu movimento de descida com uma aceleração constante a. Durante parte dessa descida, o anteparo mantém contato com o corpo, dele se separando somente após um certo tempo. Desconsiderando quaisquer atritos, podemos afirmar que a variação máxima do comprimento da mola é dada por

Plano inclinado de ângulo alfa com um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k e apoiado em um anteparo móvel.

  1. A
    [m\text{ }g\text{ sen }\alpha + m\sqrt{a(2g\text{ sen }\alpha + a)}]/k.
  2. B
    [mg\cos\alpha + m\sqrt{a(2g\cos\alpha + a)}]/k.
  3. C
    [m\text{ }g\text{ sen }\alpha + m\sqrt{a(2g\text{ sen }\alpha - a)}]/k.
  4. D
    m(g\text{ sen }\alpha - a)/k.
  5. E
    mg\text{ sen }\alpha/k.
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Resolução comentada

Tome o eixo x ao longo do plano, para baixo, com origem na posição em que a mola está no comprimento natural.

Fase 1: bloco junto com o anteparo. Os dois descem com aceleração constante a. Sobre o bloco agem mg\,\sen\alpha (para baixo), a força elástica kx (para cima) e a normal N do anteparo (para cima):

mg\,\sen\alpha - kx - N = ma

O bloco se separa quando N=0, ou seja:

x_1=\frac{m(g\,\sen\alpha - a)}{k}

A velocidade nesse instante vem de v^2=2ax_1:

v^2=\frac{2am(g\,\sen\alpha - a)}{k}

Fase 2: bloco sozinho. Sem atrito, a energia mecânica se conserva. O bloco desce até parar em x_{max}. Tomando como referência o ponto de separação, o bloco desce d=x_{max}-x_1:

\tfrac12 mv^2+mg\,\sen\alpha\,(x_{max}-x_1)+\tfrac12kx_1^2=\tfrac12kx_{max}^2

Outra forma é usar o movimento harmônico simples. A posição de equilíbrio é x_e=\dfrac{mg\,\sen\alpha}{k} e a energia relativa a ela dá

\tfrac12 k A^2=\tfrac12 k(x_1-x_e)^2+\tfrac12 mv^2

Com x_1-x_e=-\dfrac{ma}{k}:

A^2=\frac{m^2a^2}{k^2}+\frac{2am(g\,\sen\alpha-a)m}{k^2}=\frac{m^2}{k^2}\,a\,(2g\,\sen\alpha-a)
A=\frac{m\sqrt{a(2g\,\sen\alpha-a)}}{k}

A variação máxima do comprimento da mola é x_e + A:

x_{max}=\frac{mg\,\sen\alpha+m\sqrt{a(2g\,\sen\alpha-a)}}{k}

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana por ser a deformação de equilíbrio; como o bloco chega com velocidade, ele ultrapassa esse ponto. A D também engana ao dar só a deformação na separação.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATroca o sinal dentro da raiz (+a em vez de −a), o que não sai da conservação de energia.
  • BUsa cosseno, que é a componente perpendicular ao plano; o movimento depende de sen α.
  • DÉ apenas a deformação no instante da separação, não a máxima.
  • EÉ apenas a posição de equilíbrio, ignorando a velocidade que o bloco já tem ao se separar.

Assuntos: Força elástica e lei de Hooke, Plano inclinado, Movimento harmônico simples e pêndulos.

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Ver como caiu na prova Questão 5 no caderno Física do ITA 2010

Fonte: ITA 2010 · Física. Prova oficial ↗