Questão 4 (Física) do ITA 2010

Question

A temperatura para a qual a velocidade associada à energia cinética média de uma molécula de nitrogênio, N_2, é igual à velocidade de escape desta molécula da superfície da Terra é de, aproximadamente,

A
1{,}4 \times 10^5\text{ K}.
B
1{,}4 \times 10^8\text{ K}.
C
7{,}0 \times 10^{27}\text{ K}.
D
7{,}2 \times 10^4\text{ K}.
E
8{,}4 \times 10^{28}\text{ K}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Física) do ITA 2010

Física · Física: Gravitação universal e satélites

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante gravitacional G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{s}^2\text{kg}. Massa do Sol M = 1{,}99 \times 10^{30}\text{ kg}. Velocidade da luz c = 3 \times 10^8\text{ m/s}. Distância média do centro da Terra ao centro do Sol: 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m}. Aceleração da gravidade g = 9{,}8\text{ m/s}^2. Raio da Terra: 6380\text{ km}. Número de Avogadro: 6{,}023 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}. Constante universal dos gases: 8{,}31\text{ J/molK}. Massa atômica do nitrogênio: 14. Constante de Planck h = 6{,}62 \times 10^{-34}\text{ m}^2\text{kg/s}. Permissividade do vácuo: \varepsilon_0 = 1/4\pi k_0. Permeabilidade magnética do vácuo: \mu_0.

A temperatura para a qual a velocidade associada à energia cinética média de uma molécula de nitrogênio, N_2, é igual à velocidade de escape desta molécula da superfície da Terra é de, aproximadamente,

A
1{,}4 \times 10^5\text{ K}.
B
1{,}4 \times 10^8\text{ K}.
C
7{,}0 \times 10^{27}\text{ K}.
D
7{,}2 \times 10^4\text{ K}.
E
8{,}4 \times 10^{28}\text{ K}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Há dois conceitos: a energia cinética média de uma molécula de gás ideal e a velocidade de escape.

Energia cinética média: E_c = \frac{3}{2}kT, com k = R/N_A. Igualando a \frac{1}{2}mv^2, a velocidade associada é v^2 = \frac{3kT}{m} = \frac{3RT}{M_{mol}}.

Velocidade de escape: v_e^2 = 2gR_T, pois GM_T/R_T^2 = g.

Igualando os dois:

\frac{3RT}{M_{mol}} = 2gR_T \Rightarrow T = \frac{2gR_T M_{mol}}{3R}

Dados: M_{mol} = 28\ \text{g/mol} = 28\times10^{-3}\ \text{kg/mol} (o N_2 tem dois átomos de massa 14) e R_T = 6{,}38\times10^6\ \text{m}.

Numerador: 2 \times 9{,}8 \times 6{,}38\times10^6 \times 28\times10^{-3} = 19{,}6 \times 6{,}38\times10^6 \times 2{,}8\times10^{-2}.
19{,}6 \times 6{,}38 \approx 125{,}05, então 125{,}05\times10^6 \times 2{,}8\times10^{-2} \approx 3{,}50\times10^6.
Denominador: 3 \times 8{,}31 = 24{,}93.
T = \dfrac{3{,}50\times10^6}{24{,}93} \approx 1{,}4\times10^5\ \text{K}.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem usa a massa atômica 14 em vez da massa molar do N_2 (28 g/mol).

Por que as outras alternativas estão erradas

BErro de potência de 10 na conta; o resultado correto é da ordem de 10^5 K.
CValor absurdo, de quem usa G e massas astronômicas sem necessidade ou erra muito as potências.
DUsa massa molar 14 g/mol (átomo de N) em vez de 28 g/mol e troca o fator, dando valor diferente.
EOrdem de grandeza absurda, sem relação com a conta correta.

Assuntos: Gravitação universal e satélites, Gases ideais e transformações gasosas.

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Fonte: ITA 2010 · Física. Prova oficial ↗