Questão 3 (Física) do ITA 2010

Question

Considere um segmento de reta que liga o centro de qualquer planeta do sistema solar ao centro do Sol. De acordo com a 2^a Lei de Kepler, tal segmento percorre áreas iguais em tempos iguais. Considere, então, que em dado instante deixasse de existir o efeito da gravitação entre o Sol e o planeta. Assinale a alternativa correta.

A
O segmento de reta em questão continuaria a percorrer áreas iguais em tempos iguais.
B
A órbita do planeta continuaria a ser elíptica, porém com focos diferentes e a 2^a Lei de Kepler continuaria válida.
C
A órbita do planeta deixaria de ser elíptica e a 2^a Lei de Kepler não seria mais válida.
D
A 2^a Lei de Kepler só é válida quando se considera uma força que depende do inverso do quadrado das distâncias entre os corpos e, portanto, deixaria de ser válida.
E
O planeta iria se dirigir em direção ao Sol.

Answer 1

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Questão 3 (Física) do ITA 2010

Física · Física: Leis de Kepler

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante gravitacional G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{s}^2\text{kg}. Massa do Sol M = 1{,}99 \times 10^{30}\text{ kg}. Velocidade da luz c = 3 \times 10^8\text{ m/s}. Distância média do centro da Terra ao centro do Sol: 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m}. Aceleração da gravidade g = 9{,}8\text{ m/s}^2. Raio da Terra: 6380\text{ km}. Número de Avogadro: 6{,}023 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}. Constante universal dos gases: 8{,}31\text{ J/molK}. Massa atômica do nitrogênio: 14. Constante de Planck h = 6{,}62 \times 10^{-34}\text{ m}^2\text{kg/s}. Permissividade do vácuo: \varepsilon_0 = 1/4\pi k_0. Permeabilidade magnética do vácuo: \mu_0.

Considere um segmento de reta que liga o centro de qualquer planeta do sistema solar ao centro do Sol. De acordo com a 2^a Lei de Kepler, tal segmento percorre áreas iguais em tempos iguais. Considere, então, que em dado instante deixasse de existir o efeito da gravitação entre o Sol e o planeta. Assinale a alternativa correta.

A
O segmento de reta em questão continuaria a percorrer áreas iguais em tempos iguais.
B
A órbita do planeta continuaria a ser elíptica, porém com focos diferentes e a 2^a Lei de Kepler continuaria válida.
C
A órbita do planeta deixaria de ser elíptica e a 2^a Lei de Kepler não seria mais válida.
D
A 2^a Lei de Kepler só é válida quando se considera uma força que depende do inverso do quadrado das distâncias entre os corpos e, portanto, deixaria de ser válida.
E
O planeta iria se dirigir em direção ao Sol.

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Resolução comentada

A 2ª Lei de Kepler (lei das áreas) é consequência da conservação do momento angular do planeta em relação ao Sol. Ela vale sempre que a força sobre o planeta é central, ou seja, sempre aponta para o Sol, sem exigir que dependa de 1/r^2.

Se a gravitação deixasse de existir, o planeta ficaria livre de forças. Pela 1ª Lei de Newton, ele seguiria em linha reta com velocidade constante v, igual à que tinha no instante em que a força desapareceu.

Vamos calcular a área varrida pelo segmento Sol–planeta nesse movimento retilíneo:

Em um intervalo \Delta t, o planeta percorre v\,\Delta t ao longo da reta.
A área do triângulo formado tem base v\,\Delta t e altura d, a distância perpendicular do Sol à reta: A = \dfrac{1}{2}\, v\,\Delta t\, d.
Como v e d são constantes, \dfrac{A}{\Delta t} = \dfrac{vd}{2} é constante.

A taxa de área varrida é constante, ou seja, o segmento continua varrendo áreas iguais em tempos iguais. Isso é coerente com o momento angular L = m\,v\,d constante, pois sem força não há torque.

A órbita deixa de ser elíptica, porque vira uma reta, mas a lei das áreas permanece valendo. Por isso B, C e D estão erradas. O planeta não vai em direção ao Sol, pois mantém sua velocidade tangente à órbita, e E também está errada.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana por ser parcialmente verdadeira (a órbita deixa de ser elíptica), levando a concluir que a lei das áreas também falha.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bsem força o movimento é retilíneo uniforme, não uma elipse com outros focos.
Cacerta que a órbita deixa de ser elíptica, mas erra ao dizer que a lei das áreas deixa de valer; ela continua valendo.
Da lei das áreas vale para qualquer força central, não só para a que varia com 1/r^2; e sem força ela continua valendo.
Esem força o planeta segue em linha reta pela inércia, com a velocidade tangente que já tinha, e não cai sobre o Sol.

Assuntos: Leis de Kepler, Leis de Newton e aplicações.

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Fonte: ITA 2010 · Física. Prova oficial ↗