Questão 2 (Física) do ITA 2010

Question

Considere a Terra como uma esfera homogênea de raio R que gira com velocidade angular uniforme \omega em torno do seu próprio eixo Norte-Sul. Na hipótese de ausência de rotação da Terra, sabe-se que a aceleração da gravidade seria dada por g = GM/R^2. Como \omega \ne 0, um corpo em repouso na superfície da Terra na realidade fica sujeito forçosamente a um peso aparente, que pode ser medido, por exemplo, por um dinamômetro, cuja direção pode não passar pelo centro do planeta. Então, o peso aparente de um corpo de massa m em repouso na superfície da Terra a uma latitude \lambda é dado por

A
mg - m\omega^2 R\cos\lambda.
B
mg - m\omega^2 R\sen^2\lambda.
C
mg\sqrt{1 - \left[2\omega^2 R/g + (\omega^2 R/g)^2\right]\sen^2\lambda}.
D
mg\sqrt{1 - \left[2\omega^2 R/g - (\omega^2 R/g)^2\right]\cos^2\lambda}.
E
mg\sqrt{1 - \left[2\omega^2 R/g - (\omega^2 R/g)^2\right]\sen^2\lambda}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Física) do ITA 2010

Física · Física: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta)

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante gravitacional G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{s}^2\text{kg}. Massa do Sol M = 1{,}99 \times 10^{30}\text{ kg}. Velocidade da luz c = 3 \times 10^8\text{ m/s}. Distância média do centro da Terra ao centro do Sol: 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m}. Aceleração da gravidade g = 9{,}8\text{ m/s}^2. Raio da Terra: 6380\text{ km}. Número de Avogadro: 6{,}023 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}. Constante universal dos gases: 8{,}31\text{ J/molK}. Massa atômica do nitrogênio: 14. Constante de Planck h = 6{,}62 \times 10^{-34}\text{ m}^2\text{kg/s}. Permissividade do vácuo: \varepsilon_0 = 1/4\pi k_0. Permeabilidade magnética do vácuo: \mu_0.

Considere a Terra como uma esfera homogênea de raio R que gira com velocidade angular uniforme \omega em torno do seu próprio eixo Norte-Sul. Na hipótese de ausência de rotação da Terra, sabe-se que a aceleração da gravidade seria dada por g = GM/R^2. Como \omega \ne 0, um corpo em repouso na superfície da Terra na realidade fica sujeito forçosamente a um peso aparente, que pode ser medido, por exemplo, por um dinamômetro, cuja direção pode não passar pelo centro do planeta. Então, o peso aparente de um corpo de massa m em repouso na superfície da Terra a uma latitude \lambda é dado por

A
mg - m\omega^2 R\cos\lambda.
B
mg - m\omega^2 R\sen^2\lambda.
C
mg\sqrt{1 - \left[2\omega^2 R/g + (\omega^2 R/g)^2\right]\sen^2\lambda}.
D
mg\sqrt{1 - \left[2\omega^2 R/g - (\omega^2 R/g)^2\right]\cos^2\lambda}.
E
mg\sqrt{1 - \left[2\omega^2 R/g - (\omega^2 R/g)^2\right]\sen^2\lambda}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

No referencial da Terra, o corpo em repouso sofre duas forças: a atração gravitacional \vec P = mg, dirigida ao centro, e a força centrífuga m\omega^2 r, perpendicular ao eixo de rotação e para fora. O peso aparente é a resultante das duas.\n\nA latitude \lambda é medida a partir do Equador, então o raio da trajetória circular do corpo é r = R\cos\lambda. A força centrífuga vale\n\n

F_c = m\omega^2 R\cos\lambda

\n\nO ângulo entre \vec P (para o centro) e \vec F_c (horizontal, para fora do eixo) é 180^\circ - \lambda. Pela lei dos cossenos:\n\n

P_{ap}^2 = (mg)^2 + (m\omega^2 R\cos\lambda)^2 - 2(mg)(m\omega^2 R\cos\lambda)\cos\lambda

\n\nO sinal negativo aparece porque a centrífuga tem componente radial contrária ao peso. Colocando (mg)^2 em evidência e usando a = \omega^2R/g:\n\n

P_{ap}^2 = (mg)^2\left[1 + a^2\cos^2\lambda - 2a\cos^2\lambda\right]

\n\n

P_{ap} = mg\sqrt{1 - \left[2a - a^2\right]\cos^2\lambda}

\n\nConferência: no polo (\lambda = 90^\circ) o termo some e P_{ap} = mg; no Equador (\lambda=0) sai mg(1-a), que é mg - m\omega^2R, como esperado.\n\nAlternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana por ter a mesma estrutura da D, trocando apenas \cos^2\lambda por \sen^2\lambda; o raio da órbita é R\cos\lambda porque a latitude é medida a partir do Equador.

Por que as outras alternativas estão erradas

Asubtrai a força centrífuga inteira do peso, como se fossem colineares, ignorando que só há alinhamento no Equador.
Busa \sen^2\lambda e só um termo, sem a composição vetorial correta.
Ctroca \cos por \sen e usa sinal + no termo quadrático.
Esinais corretos, mas usa \sen^2\lambda no lugar de \cos^2\lambda, o que daria efeito máximo no polo.

Assuntos: Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta), Gravitação universal e satélites.

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Fonte: ITA 2010 · Física. Prova oficial ↗