Questão 1 (Física) do ITA 2010

Question

Pela teoria Newtoniana da gravitação, o potencial gravitacional devido ao Sol, assumindo simetria esférica, é dado por -V = GM/r, em que r é a distância média do corpo ao centro do Sol. Segundo a teoria da relatividade de Einstein, essa equação de Newton deve ser corrigida para -V = GM/r + A/r^2, em que A depende somente de G, de M e da velocidade da luz, c. Com base na análise dimensional e considerando k uma constante adimensional, assinale a opção que apresenta a expressão da constante A, seguida da ordem de grandeza da razão entre o termo de correção, A/r^2, obtido por Einstein, e o termo GM/r da equação de Newton, na posição da Terra, sabendo a priori que k=1.

A
A = kGM/c e 10^{-5}
B
A = kG^2M^2/c e 10^{-8}
C
A = kG^2M^2/c e 10^{-3}
D
A = kG^2M^2/c^2 e 10^{-5}
E
A = kG^2M^2/c^2 e 10^{-8}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Física) do ITA 2010

Física · Física: Unidades do SI e análise dimensional

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante gravitacional G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{s}^2\text{kg}. Massa do Sol M = 1{,}99 \times 10^{30}\text{ kg}. Velocidade da luz c = 3 \times 10^8\text{ m/s}. Distância média do centro da Terra ao centro do Sol: 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m}. Aceleração da gravidade g = 9{,}8\text{ m/s}^2. Raio da Terra: 6380\text{ km}. Número de Avogadro: 6{,}023 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}. Constante universal dos gases: 8{,}31\text{ J/molK}. Massa atômica do nitrogênio: 14. Constante de Planck h = 6{,}62 \times 10^{-34}\text{ m}^2\text{kg/s}. Permissividade do vácuo: \varepsilon_0 = 1/4\pi k_0. Permeabilidade magnética do vácuo: \mu_0.

Pela teoria Newtoniana da gravitação, o potencial gravitacional devido ao Sol, assumindo simetria esférica, é dado por -V = GM/r, em que r é a distância média do corpo ao centro do Sol. Segundo a teoria da relatividade de Einstein, essa equação de Newton deve ser corrigida para -V = GM/r + A/r^2, em que A depende somente de G, de M e da velocidade da luz, c. Com base na análise dimensional e considerando k uma constante adimensional, assinale a opção que apresenta a expressão da constante A, seguida da ordem de grandeza da razão entre o termo de correção, A/r^2, obtido por Einstein, e o termo GM/r da equação de Newton, na posição da Terra, sabendo a priori que k=1.

A
A = kGM/c e 10^{-5}
B
A = kG^2M^2/c e 10^{-8}
C
A = kG^2M^2/c e 10^{-3}
D
A = kG^2M^2/c^2 e 10^{-5}
E
A = kG^2M^2/c^2 e 10^{-8}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Análise dimensional. O potencial GM/r tem dimensão de \text{m}^2/\text{s}^2 (energia por massa). Logo, A/r^2 também precisa ter essa dimensão, e então [A] = \text{m}^4/\text{s}^2.

As dimensões de cada grandeza são:

[GM] = \text{m}^3/\text{s}^2
[c] = \text{m/s}

Procuramos A = k\,(GM)^a c^b:

\text{m}^{3a+b}\,\text{s}^{-2a-b} = \text{m}^4\,\text{s}^{-2}

Igualando os expoentes:

3a + b = 4
2a + b = 2

Subtraindo a segunda da primeira, a = 2 e b = -2. Portanto:

A = k\,\frac{G^2M^2}{c^2}

Razão entre os termos. Com k=1:

\frac{A/r^2}{GM/r} = \frac{GM}{c^2 r}

Calculando cada parte:

GM = 6{,}67\times10^{-11}\cdot 1{,}99\times10^{30} \approx 1{,}33\times10^{20}
c^2 r = 9\times10^{16}\cdot 1{,}5\times10^{11} = 1{,}35\times10^{28}

\frac{GM}{c^2 r} \approx \frac{1{,}33\times10^{20}}{1{,}35\times10^{28}} \approx 0{,}98\times10^{-8} \approx 10^{-8}

A ordem de grandeza é 10^{-8}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AA expressão GM/c não tem a dimensão \text{m}^4/\text{s}^2 e a ordem de grandeza está errada.
BO expoente de c está errado: com c^1 a dimensão de A não fecha.
CUsa c em vez de c^2, o que é dimensionalmente incorreto, e a ordem 10^{-3} não resulta do cálculo.
DA expressão de A está certa, mas a ordem de grandeza 10^{-5} não confere com GM/(c^2r)\approx10^{-8}.

Assuntos: Unidades do SI e análise dimensional, Notação científica e ordem de grandeza, Gravitação universal e satélites.

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Fonte: ITA 2010 · Física. Prova oficial ↗