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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Física) do ITA 2010

Física · Física: Associação de resistores

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante gravitacional G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{s}^2\text{kg}. Massa do Sol M = 1{,}99 \times 10^{30}\text{ kg}. Velocidade da luz c = 3 \times 10^8\text{ m/s}. Distância média do centro da Terra ao centro do Sol: 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m}. Aceleração da gravidade g = 9{,}8\text{ m/s}^2. Raio da Terra: 6380\text{ km}. Número de Avogadro: 6{,}023 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}. Constante universal dos gases: 8{,}31\text{ J/molK}. Massa atômica do nitrogênio: 14. Constante de Planck h = 6{,}62 \times 10^{-34}\text{ m}^2\text{kg/s}. Permissividade do vácuo: \varepsilon_0 = 1/4\pi k_0. Permeabilidade magnética do vácuo: \mu_0.

A figura mostra três camadas de dois materiais com condutividade \sigma_1 e \sigma_2, respectivamente. Da esquerda para a direita, temos uma camada do material com condutividade \sigma_1, de largura d/2, seguida de uma camada do material de condutividade \sigma_2, de largura d/4, seguida de outra camada do primeiro material de condutividade \sigma_1, de largura d/4. A área transversal é a mesma para todas as camadas e igual a A. Sendo a diferença de potencial entre os pontos a e b igual a V, a corrente do circuito é dada por

Circuito com três camadas justapostas entre os pontos a e b, ligadas a uma bateria de diferença de potencial V. Da esquerda para a direita, as camadas têm condutividades σ₁, σ₂ e σ₁ e larguras d/2, d/4 e d/4, respectivamente. As camadas externas estão hachuradas e a central está sombreada em cinza.

  1. A
    4VA/d(3\sigma_1 + \sigma_2).
  2. B
    4VA/d(3\sigma_2 + \sigma_1).
  3. C
    4VA\sigma_1\sigma_2/d(3\sigma_1 + \sigma_2).
  4. D
    4VA\sigma_1\sigma_2/d(3\sigma_2 + \sigma_1).
  5. E
    AV(6\sigma_1 + 4\sigma_2)/d.
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Resolução comentada

As camadas estão uma após a outra, e a corrente atravessa todas elas. Isso é uma associação em série, então as resistências se somam.

Para cada camada, a resistência é R = \rho \dfrac{L}{A}, e a resistividade é o inverso da condutividade, \rho = \dfrac{1}{\sigma}. Logo:

R = \frac{L}{\sigma A}
  1. Camada 1 (largura d/2, \sigma_1): R_1 = \dfrac{d}{2\sigma_1 A}
  2. Camada 2 (largura d/4, \sigma_2): R_2 = \dfrac{d}{4\sigma_2 A}
  3. Camada 3 (largura d/4, \sigma_1): R_3 = \dfrac{d}{4\sigma_1 A}

Somando as duas camadas de \sigma_1:

R_1 + R_3 = \frac{d}{A\sigma_1}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) = \frac{3d}{4\sigma_1 A}

Resistência total:

R = \frac{3d}{4\sigma_1 A} + \frac{d}{4\sigma_2 A} = \frac{d}{4A}\cdot\frac{3\sigma_2 + \sigma_1}{\sigma_1\sigma_2}

Pela primeira lei de Ohm, i = \dfrac{V}{R}:

i = \frac{4VA\,\sigma_1\sigma_2}{d\,(3\sigma_2+\sigma_1)}

Isso coincide com a expressão da alternativa D.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem não percebe que, ao colocar tudo sobre o denominador comum, o coeficiente 3 (das duas camadas de \sigma_1) passa a multiplicar \sigma_2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão tem o produto \sigma_1\sigma_2 no numerador e trata as condutividades como se somassem, o que não vale em série.
  • BFalta o fator \sigma_1\sigma_2 no numerador; o resultado não é o inverso da soma das resistências.
  • CTroca os coeficientes: coloca o 3 em \sigma_1, mas o 3 deve multiplicar \sigma_2 (as camadas de \sigma_1 somam 3d/4 e ficam no denominador de \sigma_1).
  • ESoma as condutividades ponderadas como se fosse associação em paralelo, o que não corresponde ao circuito em série.

Assuntos: Associação de resistores, Resistência elétrica e leis de Ohm.

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Ver como caiu na prova Questão 16 no caderno Física do ITA 2010

Fonte: ITA 2010 · Física. Prova oficial ↗