Questão 15 (Física) do ITA 2010

Question

Considere uma balança de braços desiguais, de comprimentos \ell_1 e \ell_2, conforme mostra a figura. No lado esquerdo encontra-se pendurada uma carga de magnitude Q e massa desprezível, situada a uma certa distância de outra carga, q. No lado direito encontra-se uma massa m sobre um prato de massa desprezível. Considerando as cargas como puntuais e desprezível a massa do prato da direita, o valor de q para equilibrar a massa m é dado por

$Balança de braços desiguais apoiada em um fulcro, com braço esquerdo de comprimento $\ell_1$ e braço direito de comprimento $\ell_2$. No braço esquerdo está pendurada uma carga $Q$ por um fio inclinado de $30^\circ$ em relação à vertical, situada a uma distância vertical $d$ de uma carga $q$ disposta ao longo do mesmo alinhamento. No braço direito está pendurado um prato contendo uma massa $m$.$

A
-mg\ell_2d^2/(k_0Q\ell_1).
B
-8mg\ell_2d^2/(k_0Q\ell_1).
C
-4mg\ell_2d^2/(3k_0Q\ell_1).
D
-2mg\ell_2d^2/(\sqrt{3}k_0Q\ell_1).
E
-8mg\ell_2d^2/(3\sqrt{3}k_0Q\ell_1).

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Física) do ITA 2010

Física · Física: Força elétrica e lei de Coulomb

Texto-base das questões 01 a 20 · Física

Constante gravitacional G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{s}^2\text{kg}. Massa do Sol M = 1{,}99 \times 10^{30}\text{ kg}. Velocidade da luz c = 3 \times 10^8\text{ m/s}. Distância média do centro da Terra ao centro do Sol: 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m}. Aceleração da gravidade g = 9{,}8\text{ m/s}^2. Raio da Terra: 6380\text{ km}. Número de Avogadro: 6{,}023 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}. Constante universal dos gases: 8{,}31\text{ J/molK}. Massa atômica do nitrogênio: 14. Constante de Planck h = 6{,}62 \times 10^{-34}\text{ m}^2\text{kg/s}. Permissividade do vácuo: \varepsilon_0 = 1/4\pi k_0. Permeabilidade magnética do vácuo: \mu_0.

Considere uma balança de braços desiguais, de comprimentos \ell_1 e \ell_2, conforme mostra a figura. No lado esquerdo encontra-se pendurada uma carga de magnitude Q e massa desprezível, situada a uma certa distância de outra carga, q. No lado direito encontra-se uma massa m sobre um prato de massa desprezível. Considerando as cargas como puntuais e desprezível a massa do prato da direita, o valor de q para equilibrar a massa m é dado por

$Balança de braços desiguais apoiada em um fulcro, com braço esquerdo de comprimento $\ell_1$ e braço direito de comprimento $\ell_2$. No braço esquerdo está pendurada uma carga $Q$ por um fio inclinado de $30^\circ$ em relação à vertical, situada a uma distância vertical $d$ de uma carga $q$ disposta ao longo do mesmo alinhamento. No braço direito está pendurado um prato contendo uma massa $m$.$

A
-mg\ell_2d^2/(k_0Q\ell_1).
B
-8mg\ell_2d^2/(k_0Q\ell_1).
C
-4mg\ell_2d^2/(3k_0Q\ell_1).
D
-2mg\ell_2d^2/(\sqrt{3}k_0Q\ell_1).
E
-8mg\ell_2d^2/(3\sqrt{3}k_0Q\ell_1).

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Pela figura, q está sobre o prolongamento do fio inclinado de 30^\circ que sustenta Q. A força elétrica sobre Q age, portanto, ao longo desse fio. Para o equilíbrio, o torque dessa força em relação ao apoio deve igualar o torque do peso mg.

Distância entre as cargas: o fio faz 30^\circ com a vertical e a separação vertical é d, então r=\dfrac{d}{\cos 30^\circ}=\dfrac{2d}{\sqrt3} e r^2=\dfrac{4d^2}{3}.
Módulo da força elétrica: F=\dfrac{k_0Q|q|}{r^2}=\dfrac{3k_0Q|q|}{4d^2}.
Torque: a linha de ação de F passa pela extremidade esquerda da barra, onde o fio está preso. Só a componente vertical F\cos30^\circ produz torque, com braço \ell_1. A força deve puxar Q para baixo, isto é, ser atrativa. Logo q tem sinal oposto ao de Q (negativo, se Q>0).
Equilíbrio dos torques:

F\cos30^\circ\,\ell_1=mg\,\ell_2

\frac{3k_0Q|q|}{4d^2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\,\ell_1=mg\,\ell_2

\frac{3\sqrt3\,k_0Q|q|\,\ell_1}{8d^2}=mg\,\ell_2\;\Rightarrow\;|q|=\frac{8mg\ell_2d^2}{3\sqrt3\,k_0Q\ell_1}

Com o sinal negativo, q=-\dfrac{8mg\ell_2d^2}{3\sqrt3\,k_0Q\ell_1}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aignora a inclinação de 30^\circ: usa r=d e a força inteira como vertical.
Bmistura os fatores geométricos e perde o 3\sqrt3 do denominador.
Cusa r^2=4d^2/3 mas esquece de projetar a força na vertical (\cos30^\circ).
Dinclui \cos30^\circ mas não usa corretamente r^2=4d^2/3.

Assuntos: Força elétrica e lei de Coulomb, Equilíbrio do corpo extenso: torque e alavancas.

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Questão 15 no caderno Física do ITA 2010

Fonte: ITA 2010 · Física. Prova oficial ↗