Questão 8 (Física) do ITA 2009

Question

Uma balsa tem o formato de um prisma reto de comprimento L e seção transversal como vista na figura. Quando sem carga, ela submerge parcialmente até a uma profundidade h_0. Sendo \rho a massa específica da água e g a aceleração da gravidade, e supondo seja mantido o equilíbrio hidrostático, assinale a carga P que a balsa suporta quando submersa a uma profundidade h_1.

$Seção transversal da balsa mostrando uma base triangular invertida com ângulo de vértice $\theta$, encimada por um bloco retangular. Linhas tracejadas horizontais indicam o vértice inferior e a base do triângulo a uma distância vertical $h_1$. A superfície da água está indicada em um nível acima do vértice a uma altura $h_0$.$

A
P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2) \sen \theta
B
P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2) \tan \theta
C
P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2) \sen \theta/2
D
P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2) \tan \theta/2
E
P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2) 2 \tan \theta/2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Física) do ITA 2009

Física · Física: Empuxo e princípio de Arquimedes

Uma balsa tem o formato de um prisma reto de comprimento L e seção transversal como vista na figura. Quando sem carga, ela submerge parcialmente até a uma profundidade h_0. Sendo \rho a massa específica da água e g a aceleração da gravidade, e supondo seja mantido o equilíbrio hidrostático, assinale a carga P que a balsa suporta quando submersa a uma profundidade h_1.

$Seção transversal da balsa mostrando uma base triangular invertida com ângulo de vértice $\theta$, encimada por um bloco retangular. Linhas tracejadas horizontais indicam o vértice inferior e a base do triângulo a uma distância vertical $h_1$. A superfície da água está indicada em um nível acima do vértice a uma altura $h_0$.$

A
P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2) \sen \theta
B
P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2) \tan \theta
C
P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2) \sen \theta/2
D
P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2) \tan \theta/2
E
P = \rho g L(h_1^2 - h_0^2) 2 \tan \theta/2

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A carga que a balsa suporta é o acréscimo de empuxo: sem carga, o empuxo equilibra o peso da balsa; com carga, o empuxo aumenta e a diferença é exatamente P.

O empuxo é E=\rho g V_{sub}, e o volume submerso é a área da seção triangular submersa vezes L.

Triângulo submerso até a profundidade h, com ângulo de vértice \theta: a metade da largura na superfície é h\,\tg(\theta/2), então a largura é 2h\,\tg(\theta/2).
Área submersa: A=\dfrac{1}{2}\cdot 2h\,\tg(\theta/2)\cdot h = h^2\,\tg(\theta/2).
Empuxo com profundidade h: E=\rho g L h^2\,\tg(\theta/2).
Sem carga (h_0): E_0=P_{balsa}=\rho g L h_0^2\,\tg(\theta/2).
Com carga (h_1): E_1=P_{balsa}+P=\rho g L h_1^2\,\tg(\theta/2).

Subtraindo:

P=E_1-E_0=\rho g L\,(h_1^2-h_0^2)\,\tg\frac{\theta}{2}

Isso corresponde à alternativa em que aparece \tan\theta/2 sem fator 2 adicional.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa \sen\theta, que não aparece na área do triângulo; a largura depende de \tg(\theta/2).
Busa \tg\theta em vez de \tg(\theta/2), esquecendo que o ângulo do vértice se divide ao meio no triângulo retângulo.
Cusa \sen(\theta/2), função errada para relacionar largura e altura.
Emantém o fator 2 da largura, mas esquece de multiplicar por 1/2 da área do triângulo.

Assunto: Empuxo e princípio de Arquimedes.

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Fonte: ITA 2009 · Física. Prova oficial ↗