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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Física) do ITA 2009

Física · Física: Gravitação universal e satélites

Desde os idos de 1930, observações astronômicas indicam a existência da chamada matéria escura. Tal matéria não emite luz, mas a sua presença é inferida pela influência gravitacional que ela exerce sobre o movimento de estrelas no interior de galáxias. Suponha que, numa galáxia, possa ser removida sua matéria escura de massa específica \rho > 0, que se encontra uniformemente distribuída. Suponha também que no centro dessa galáxia haja um buraco negro de massa M, em volta do qual uma estrela de massa m descreve uma órbita circular. Considerando órbitas de mesmo raio na presença e na ausência de matéria escura, a respeito da força gravitacional resultante \vec{F} exercida sobre a estrela e seu efeito sobre o movimento desta, pode-se afirmar que

  1. A
    \vec{F} é atrativa e a velocidade orbital de m não se altera na presença da matéria escura.
  2. B
    \vec{F} é atrativa e a velocidade orbital de m é menor na presença da matéria escura.
  3. C
    \vec{F} é atrativa e a velocidade orbital de m é maior na presença da matéria escura.
  4. D
    \vec{F} é repulsiva e a velocidade orbital de m é maior na presença da matéria escura.
  5. E
    \vec{F} é repulsiva e a velocidade orbital de m é menor na presença da matéria escura.
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Resolução comentada

Pelo teorema das cascas (vale para distribuição esférica), a força gravitacional sobre a estrela, a uma distância r do centro, vem só da massa que está dentro da esfera de raio r.

Sem matéria escura: só o buraco negro atua, então

F_0=\frac{GMm}{r^2}

Com matéria escura: além de M, há a massa de matéria escura dentro da esfera de raio r, que vale

M_{esc}=\rho\,\frac{4}{3}\pi r^3

Como \rho>0, essa massa é positiva e a gravidade é sempre atrativa. A força resultante é

F=\frac{G\left(M+M_{esc}\right)m}{r^2}>F_0

Portanto \vec F é atrativa e maior que na ausência de matéria escura.

Velocidade orbital: na órbita circular, a força gravitacional faz o papel de resultante centrípeta:

F=\frac{mv^2}{r}\;\Rightarrow\; v=\sqrt{\frac{Fr}{m}}

Para o mesmo raio r e a mesma massa m, uma força maior dá uma velocidade maior:

v=\sqrt{\frac{G\left(M+M_{esc}\right)}{r}}>\sqrt{\frac{GM}{r}}

Logo a força é atrativa e a velocidade orbital é maior na presença da matéria escura.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aignora a massa de matéria escura dentro da órbita, que aumenta a força e, portanto, a velocidade.
  • Ba atração é correta, mas a força maior leva a velocidade maior, não menor.
  • Da força não pode ser repulsiva, pois \rho>0 implica massa positiva e gravidade atrativa.
  • Eerra o sentido da força (é atrativa) e também o da variação da velocidade.

Assunto: Gravitação universal e satélites.

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Ver como caiu na prova Questão 6 no caderno Física do ITA 2009

Fonte: ITA 2009 · Física. Prova oficial ↗