Questão 5 (Física) do ITA 2009

Question

A partir do repouso, um carrinho de montanha russa desliza de uma altura H = 20\sqrt{3}\text{ m} sobre uma rampa de 60^\circ de inclinação e corre 20\text{ m} num trecho horizontal antes de chegar em um loop circular, de pista sem atrito. Sabendo que o coeficiente de atrito da rampa e do plano horizontal é 1/2, assinale o valor do raio máximo que pode ter esse loop para que o carrinho faça todo o percurso sem perder o contato com a sua pista.

Esquema da pista com carrinho no topo de uma rampa de altura H e inclinação de 60 graus, ligada a um trecho horizontal de 20 m que conduz a um loop circular de altura 2R.

A
R = 8\sqrt{3}\text{ m}
B
R = 4(\sqrt{3} - 1)\text{ m}
C
R = 8(\sqrt{3} - 1)\text{ m}
D
R = 4(2\sqrt{3} - 1)\text{ m}
E
R = 40(\sqrt{3} - 1)/3\text{ m}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Física) do ITA 2009

Física · Física: Trabalho de uma força e teorema da energia cinética

A partir do repouso, um carrinho de montanha russa desliza de uma altura H = 20\sqrt{3}\text{ m} sobre uma rampa de 60^\circ de inclinação e corre 20\text{ m} num trecho horizontal antes de chegar em um loop circular, de pista sem atrito. Sabendo que o coeficiente de atrito da rampa e do plano horizontal é 1/2, assinale o valor do raio máximo que pode ter esse loop para que o carrinho faça todo o percurso sem perder o contato com a sua pista.

Esquema da pista com carrinho no topo de uma rampa de altura H e inclinação de 60 graus, ligada a um trecho horizontal de 20 m que conduz a um loop circular de altura 2R.

A
R = 8\sqrt{3}\text{ m}
B
R = 4(\sqrt{3} - 1)\text{ m}
C
R = 8(\sqrt{3} - 1)\text{ m}
D
R = 4(2\sqrt{3} - 1)\text{ m}
E
R = 40(\sqrt{3} - 1)/3\text{ m}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Para não perder contato no topo do loop, a normal pode ser no mínimo zero e então v_{topo}^2 \geq gR. Pela energia, isso limita o raio.

Trabalho do atrito. Na rampa, o comprimento é d = H/\sen 60^\circ = 20\sqrt{3}/(\sqrt{3}/2) = 40\ \text{m}. A normal é mg\cos 60^\circ, então o trabalho do atrito é:

W_1 = \mu\, mg\cos 60^\circ \cdot 40 = \tfrac12\cdot mg\cdot\tfrac12\cdot 40 = 10\,mg

No plano horizontal, de 20\ \text{m}: W_2 = \tfrac12\, mg\cdot 20 = 10\,mg.

O atrito total dissipa 20\,mg (em joules, com m em kg e g em m/s²).

Energia até a base do loop.

\tfrac12 mv^2 = mg\cdot 20\sqrt{3} - 20\,mg \Rightarrow v^2 = 40g(\sqrt{3}-1)

Energia até o topo (loop sem atrito), com altura 2R:

v_{topo}^2 = v^2 - 4gR

Condição de contato: v_{topo}^2 \geq gR, logo

40g(\sqrt{3}-1) - 4gR \geq gR \Rightarrow 5R \leq 40(\sqrt{3}-1)

R \leq 8(\sqrt{3}-1)\ \text{m}

O raio máximo é 8(\sqrt{3}-1)\ \text{m}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AIgnora o atrito e usa só a energia potencial, obtendo um raio grande demais.
BResultado sem relação com a conta correta; subestima a energia disponível.
DExpressão sem fundamento na conservação de energia com a condição v^2\geq gR.
EUsa v_{topo}^2=gR com altura R em vez de 2R, ou erra a divisão por 3.

Assuntos: Trabalho de uma força e teorema da energia cinética, Plano inclinado, Dinâmica do movimento circular (resultante centrípeta).

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Fonte: ITA 2009 · Física. Prova oficial ↗