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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Física) do ITA 2008

Física · Física: Relatividade restrita

Um elétron e um pósitron, de massa m = 9{,}11 \times 10^{-31}\ \text{kg}, cada qual com energia cinética de 1{,}20\ \text{MeV} e mesma quantidade de movimento, colidem entre si em sentidos opostos. Neste processo colisional as partículas aniquilam-se, produzindo dois fótons \gamma_1 e \gamma_2. Sendo dados: constante de Planck h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J.s}; velocidade da luz c = 3{,}00 \times 10^8\ \text{m/s}; 1\ \text{eV} = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{J}; 1\ \text{femtometro} = 1\ \text{fm} = 1 \times 10^{-15}\ \text{m}, indique os respectivos valores de energia E e do comprimento de onda dos fótons.

Esquema da aniquilação par elétron-pósitron: à esquerda, o elétron (e⁻) desloca-se para a direita e, à direita, o pósitron (e⁺) desloca-se para a esquerda até colidirem no centro; da colisão emergem dois fótons em sentidos opostos inclinados, representados por linhas onduladas, gama 1 (γ₁) para cima e à direita, e gama 2 (γ₂) para baixo e à esquerda.

  1. A
    E = 1{,}20\ \text{MeV}\ ;\ \lambda = 2435\ \text{fm}
  2. B
    E = 1{,}20\ \text{MeV};\ \lambda = 1035\ \text{fm}
  3. C
    E = 1{,}71\ \text{MeV};\ \lambda = 726\ \text{fm}
  4. D
    E = 1{,}46\ \text{MeV};\ \lambda = 0{,}28 \times 10^{-2}\ \text{fm}
  5. E
    E = 1{,}71\ \text{MeV};\ \lambda = 559\ \text{fm}
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Resolução comentada

Na aniquilação, a energia total das partículas se converte em dois fótons. Como o elétron e o pósitron têm a mesma quantidade de movimento em sentidos opostos, o momento total é zero. Logo os dois fótons têm momentos opostos e mesma energia.

Energia total antes da colisão

Cada partícula tem energia de repouso mc^2 mais a cinética:

  1. mc^2 = 9{,}11\times10^{-31}\cdot(3{,}00\times10^8)^2 = 8{,}199\times10^{-14}\ \text{J}
  2. Em eV: \dfrac{8{,}199\times10^{-14}}{1{,}6\times10^{-19}} \approx 5{,}12\times10^5\ \text{eV} = 0{,}512\ \text{MeV}
  3. Energia de cada partícula: 0{,}512 + 1{,}20 = 1{,}712\ \text{MeV}

A energia total é 2\cdot1{,}712 = 3{,}42\ \text{MeV}. Dividida igualmente entre os dois fótons, cada um tem E \approx 1{,}71\ \text{MeV}.

Comprimento de onda

Para um fóton, E = \dfrac{hc}{\lambda}, então \lambda = \dfrac{hc}{E}.

  1. E = 1{,}712\times10^6\cdot1{,}6\times10^{-19} = 2{,}739\times10^{-13}\ \text{J}
  2. hc = 6{,}63\times10^{-34}\cdot3{,}00\times10^8 = 1{,}989\times10^{-25}\ \text{J·m}
  3. \lambda = \dfrac{1{,}989\times10^{-25}}{2{,}739\times10^{-13}} \approx 7{,}26\times10^{-13}\ \text{m} = 726\ \text{fm}

Portanto E = 1{,}71\ \text{MeV} e \lambda \approx 726\ \text{fm}.

Alternativa C.

Pegadinha: As alternativas A e B enganam quem usa só a energia cinética de 1,20 MeV, esquecendo a energia de repouso mc^2 \approx 0{,}512 MeV de cada partícula.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa só a energia cinética (1,20 MeV) e ignora a energia de repouso; o λ também não confere.
  • BConsidera apenas a energia cinética de 1,20 MeV, esquecendo a massa de repouso das partículas.
  • DValores sem sentido físico: o λ de ordem 10⁻³ fm é incompatível com a energia de cerca de 1,7 MeV.
  • EA energia está correta, mas o λ está errado (559 fm); o cálculo de hc/E dá 726 fm.

Assuntos: Relatividade restrita, Física quântica: fóton e efeito fotoelétrico.

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Fonte: ITA 2008 · Física. Prova oficial ↗