Questão 13 (Física) do ITA 2008

Question

Na figura, um gato de massa m encontra-se parado próximo a uma das extremidades de uma prancha de massa M que flutua em repouso na superfície de um lago. A seguir, o gato salta e alcança uma nova posição na prancha, à distância L. Desprezando o atrito entre a água e a prancha, sendo \theta o ângulo entre a velocidade inicial do gato e a horizontal, e g a aceleração da gravidade, indique qual deve ser a velocidade u de deslocamento da prancha logo após o salto.

Gato sobre uma prancha flutuando na água, iniciando um salto com vetor velocidade v inclinado de um ângulo θ em relação à horizontal, com indicação do alcance L sobre a prancha.

A
u = \sqrt{\dfrac{g L M}{\left(1 + \dfrac{M}{m}\right) m \sen \theta \cos \theta}}
B
u = \sqrt{\dfrac{g L M}{\left(1 + \dfrac{M}{m}\right) 2 m \sen 2\theta}}
C
u = \sqrt{\dfrac{g L M}{\left(1 + \dfrac{M}{m}\right) 2 m \sen \theta}}
D
u = \sqrt{\dfrac{g L m}{\left(1 + \dfrac{M}{m}\right) 2 M \tan \theta}}
E
u = \sqrt{\dfrac{2 g L m}{\left(1 + \dfrac{M}{m}\right) M \tan \theta}}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Física) do ITA 2008

Física · Física: Impulso e quantidade de movimento

Na figura, um gato de massa m encontra-se parado próximo a uma das extremidades de uma prancha de massa M que flutua em repouso na superfície de um lago. A seguir, o gato salta e alcança uma nova posição na prancha, à distância L. Desprezando o atrito entre a água e a prancha, sendo \theta o ângulo entre a velocidade inicial do gato e a horizontal, e g a aceleração da gravidade, indique qual deve ser a velocidade u de deslocamento da prancha logo após o salto.

Gato sobre uma prancha flutuando na água, iniciando um salto com vetor velocidade v inclinado de um ângulo θ em relação à horizontal, com indicação do alcance L sobre a prancha.

A
u = \sqrt{\dfrac{g L M}{\left(1 + \dfrac{M}{m}\right) m \sen \theta \cos \theta}}
B
u = \sqrt{\dfrac{g L M}{\left(1 + \dfrac{M}{m}\right) 2 m \sen 2\theta}}
C
u = \sqrt{\dfrac{g L M}{\left(1 + \dfrac{M}{m}\right) 2 m \sen \theta}}
D
u = \sqrt{\dfrac{g L m}{\left(1 + \dfrac{M}{m}\right) 2 M \tan \theta}}
E
u = \sqrt{\dfrac{2 g L m}{\left(1 + \dfrac{M}{m}\right) M \tan \theta}}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Como não há atrito com a água, a componente horizontal da quantidade de movimento do sistema gato + prancha se conserva. Ela vale zero antes do salto.

Conservação na horizontal, com v a velocidade do gato em relação à água:
m v\cos\theta = M u \Rightarrow v\cos\theta=\frac{M u}{m}
Tempo de voo do gato. Ele sai e volta à mesma altura, então
t=\frac{2v\sen\theta}{g}
Substituindo v=\dfrac{Mu}{m\cos\theta}:
t=\frac{2Mu\,\tg\theta}{mg}
Deslocamento relativo. O gato avança v\cos\theta\,t em relação à água, e a prancha recua u\,t no sentido oposto. A distância L medida sobre a prancha é a soma dos dois:
L=(v\cos\theta+u)\,t=u\left(1+\frac{M}{m}\right)t
Substituindo t:
L=u\left(1+\frac{M}{m}\right)\frac{2Mu\,\tg\theta}{mg}
Isolando u:
u^2=\frac{gLm}{\left(1+\frac{M}{m}\right)2M\,\tg\theta}\Rightarrow u=\sqrt{\frac{gLm}{\left(1+\frac{M}{m}\right)2M\,\tg\theta}}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ATem M no numerador e \sen\theta\cos\theta no denominador, como se o alcance fosse o de um lançamento em solo fixo, sem a combinação correta de \tg\theta e massas.
BUsa \sen 2\theta e a razão de massas invertida; ignora que o alcance relativo é (v\cos\theta+u)t.
CUsa só \sen\theta e M no numerador, o que não sai da conservação do momento nem do tempo de voo.
ETem o fator 2 no numerador em vez de no denominador, o que erra a álgebra final ao isolar u^2.

Assuntos: Impulso e quantidade de movimento, Lançamento horizontal e oblíquo, Cinemática vetorial e composição de movimentos.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 13 no caderno Física do ITA 2008

Fonte: ITA 2008 · Física. Prova oficial ↗