Correção IME 2027 · Português e InglêsAcompanhe a resolução de cada questão da 2ª fase, ao vivoAcompanhar
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Física) da 2ª fase do ITA 2027

Física · Física: Física quântica: fóton e efeito fotoelétrico

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use a seguinte informação:

Para \theta \ll 1 assuma \sen\theta \approx \theta.

Em um determinado referencial inercial, um elétron em repouso interage com um fóton de frequência \nu. Sabendo que essa colisão é elástica e que o fóton é desviado de um ângulo \theta em relação à sua trajetória original, faça o que se pede.

a) Deduza a expressão para a frequência \nu' do fóton espalhado em função de \nu, de \theta, da massa do elétron (m_e), da constante de Planck (h) e da velocidade da luz (c).

b) Considere agora um observador O que se move com velocidade constante na mesma direção do fóton espalhado. Obtenha a velocidade V que o observador O deva ter para que a frequência do fóton espalhado nesse referencial seja a mesma frequência original \nu.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

a) Use conservação de energia e de momento linear, com o elétron inicialmente em repouso.

Energia: h\nu + m_ec^2 = h\nu' + E, com E^2 = p^2c^2 + m_e^2c^4.

Momento: \vec p = \dfrac{h\nu}{c}\hat{n} - \dfrac{h\nu'}{c}\hat{n}'. Então

p^2c^2 = h^2\nu^2 + h^2\nu'^2 - 2h^2\nu\nu'\cos\theta

Isolando E na energia e elevando ao quadrado:

\big(h\nu - h\nu' + m_ec^2\big)^2 = h^2\nu^2 + h^2\nu'^2 - 2h^2\nu\nu'\cos\theta + m_e^2c^4

Desenvolvendo o primeiro membro, os termos h^2\nu^2, h^2\nu'^2 e m_e^2c^4 se cancelam e sobra

m_ec^2\,h(\nu-\nu') = h^2\nu\nu'(1-\cos\theta)

Dividindo por h\,m_ec^2\,\nu\nu':

\frac{1}{\nu'} - \frac{1}{\nu} = \frac{h}{m_ec^2}(1-\cos\theta)

Logo

\boxed{\nu' = \frac{\nu}{1+\dfrac{h\nu}{m_ec^2}(1-\cos\theta)}}

b) O fóton espalhado tem \nu' < \nu. Para o observador medir de novo \nu, ele precisa ver um desvio para o azul. Isso só ocorre se ele se mover ao encontro do fóton, ou seja, no sentido oposto ao da propagação do fóton espalhado, sobre a mesma reta.

Pelo efeito Doppler relativístico longitudinal, com \beta = V/c:

\nu = \nu'\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}

Defina k = \dfrac{\nu}{\nu'} = 1+\dfrac{h\nu}{m_ec^2}(1-\cos\theta). Então

\frac{1+\beta}{1-\beta} = k^2 \;\Rightarrow\; \beta = \frac{k^2-1}{k^2+1}

Para \theta \ll 1, use 1-\cos\theta = 2\,\sen^2(\theta/2) \approx \theta^2/2. Assim k \approx 1+\varepsilon, com \varepsilon = \dfrac{h\nu\theta^2}{2m_ec^2} \ll 1. Então k^2-1\approx 2\varepsilon e k^2+1\approx 2, o que dá \beta\approx\varepsilon:

V \approx \frac{h\nu\,\theta^2}{2m_ec}

O resultado exato é V = c\,\dfrac{k^2-1}{k^2+1}, com sentido contrário ao do fóton espalhado.

V ≈ hνθ²/(2 mₑ c), no sentido oposto ao do fóton espalhado.

Assuntos: Física quântica: fóton e efeito fotoelétrico, Relatividade restrita.

Resultado conferido com as resoluções dos cursinhos Farias Brito e Poliedro.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 10 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2027

Fonte: ITA 2ª fase 2027 · Física. Prova oficial ↗