Questão 10 (Física) da 2ª fase do ITA 2025

Question

Em uma câmara de alto vácuo, um feixe monoenergético de elétrons é misturado a um feixe colimado e monoenergético de íons totalmente ionizados, conforme mostra a figura. As velocidades dos elétrons e dos íons são iguais. A abertura de um detector de fótons é apontada perpendicularmente à direção dos feixes misturados. Foram feitos três experimentos a baixas energias: o primeiro com um feixe de prótons, o segundo com um feixe de hélio totalmente ionizado e o terceiro com um feixe de oxigênio totalmente ionizado. Em um quarto experimento, usando um feixe de prótons relativísticos, o detector de fótons é apontado paralelamente à direção dos feixes misturados.

Considerando essa situação experimental, determine

a) as energias máximas dos fótons em \text{eV} detectadas no primeiro, segundo e terceiro experimentos;

b) um valor aproximado para o desvio percentual da máxima energia do fóton no quarto experimento com relação à máxima energia do fóton do primeiro experimento, considerando que a energia cinética dos íons, no referencial do laboratório, era de 234{,}5\ \text{MeV} no quarto experimento.

Esquema experimental mostrando o feixe de íons e o feixe de elétrons que se unem ao passar por um ímã de flexão, seguindo por um canal com um detetor de fótons apontado perpendicularmente à sua trajetória.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Física) da 2ª fase do ITA 2025

Física · Física: Física quântica: fóton e efeito fotoelétrico

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, use os seguintes valores para as constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\ \text{m/s}^2.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0\times 10^8\ \text{m/s}.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2.
Massa da Terra M_{Terra} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}.
Raio da Terra R_{Terra} = 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}.
Permissividade elétrica no vácuo \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \text{C}^2\cdot\text{N}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}.
Energia de ionização do átomo de hidrogênio I_H = 13{,}6\ \text{eV}.
Massa do próton m_p = 1{,}6 \times 10^{-27}\ \text{kg} = 938\ \text{MeV}/c^2.
Carga elementar e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}.

Em uma câmara de alto vácuo, um feixe monoenergético de elétrons é misturado a um feixe colimado e monoenergético de íons totalmente ionizados, conforme mostra a figura. As velocidades dos elétrons e dos íons são iguais. A abertura de um detector de fótons é apontada perpendicularmente à direção dos feixes misturados. Foram feitos três experimentos a baixas energias: o primeiro com um feixe de prótons, o segundo com um feixe de hélio totalmente ionizado e o terceiro com um feixe de oxigênio totalmente ionizado. Em um quarto experimento, usando um feixe de prótons relativísticos, o detector de fótons é apontado paralelamente à direção dos feixes misturados.

Considerando essa situação experimental, determine

a) as energias máximas dos fótons em \text{eV} detectadas no primeiro, segundo e terceiro experimentos;

b) um valor aproximado para o desvio percentual da máxima energia do fóton no quarto experimento com relação à máxima energia do fóton do primeiro experimento, considerando que a energia cinética dos íons, no referencial do laboratório, era de 234{,}5\ \text{MeV} no quarto experimento.

Esquema experimental mostrando o feixe de íons e o feixe de elétrons que se unem ao passar por um ímã de flexão, seguindo por um canal com um detetor de fótons apontado perpendicularmente à sua trajetória.

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Resolução comentada

a) Os elétrons e os íons têm a mesma velocidade. No referencial do íon, portanto, os elétrons estão (quase) em repouso e têm energia cinética praticamente nula. Os fótons são emitidos quando um elétron é capturado pelo íon (recombinação radiativa). A energia do fóton é a energia cinética do elétron mais a energia de ligação do nível em que ele fica. A energia máxima ocorre na captura direta para o estado fundamental (n=1), em que o fóton tem a energia de ionização do íon.

O íon totalmente ionizado, com um elétron, é hidrogenoide de número atômico Z. Sua energia de ligação é

E=Z^2\,I_H=13{,}6\,Z^2\ \text{eV}.

A detecção é perpendicular ao feixe, então não há efeito Doppler longitudinal. A velocidade é baixa, e o efeito Doppler transversal é desprezível.

Próton (Z=1): 13{,}6\ \text{eV}.
Hélio (Z=2): 13{,}6\cdot 4=54{,}4\ \text{eV}.
Oxigênio (Z=8): 13{,}6\cdot 64=870{,}4\ \text{eV}.

Resposta: 13{,}6\ \text{eV}, 54{,}4\ \text{eV} e \approx 870\ \text{eV}.

b) Os elétrons continuam com a velocidade do próton. No referencial do próton, a captura direta para n=1 ainda emite um fóton de E'=13{,}6\ \text{eV}.

Primeiro obtemos a velocidade do próton a partir da energia cinética K=234{,}5\ \text{MeV} e de m_pc^2=938\ \text{MeV}:

\gamma=1+\frac{K}{m_pc^2}=1+\frac{234{,}5}{938}=1{,}25\ \Rightarrow\ \beta=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}=\sqrt{1-0{,}64}=0{,}6.

O detector aponta paralelamente ao feixe e vê a luz emitida para frente. Nesse caso, o efeito Doppler relativístico longitudinal desloca a energia para o azul:

E=\gamma(1+\beta)E'=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\,E'=\sqrt{\frac{1{,}6}{0{,}4}}\,E'=2E'=27{,}2\ \text{eV}.

O desvio em relação ao primeiro experimento (13{,}6\ \text{eV}) é

\frac{27{,}2-13{,}6}{13{,}6}\times100\%=100\%.

Resposta: a energia máxima do fóton é 27{,}2\ \text{eV}, um desvio de aproximadamente +100\%.

Assuntos: Física quântica: fóton e efeito fotoelétrico, Efeito Doppler.

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Questão 10 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2025

Fonte: ITA 2ª fase 2025 · Física. Prova oficial ↗