Questão 10 (Física) da 2ª fase do ITA 2024

Question

Em um acelerador cíclotron uma partícula 1 carregada com carga q, massa m_0 e energia cinética K, submetida a um campo magnético \vec{B} = -B\hat{z}, percorre uma trajetória curvilínea de raio r_1 em um plano xy. No mesmo acelerador, uma partícula 2 carregada com carga 2q, massa 2m_0 e energia cinética 4K, submetida ao mesmo campo magnético, percorre outra trajetória curvilínea de raio r_2. Considerando efeitos relativísticos, estime a razão r_2/r_1 em termos das energia cinética K, massa m_0 e velocidade da luz c.

Dado: No referencial do acelerador, a expressão equivalente à resultante centrípeta no contexto da mecânica relativística é p^2/(\gamma m_0 r), onde p é o momento relativístico, \gamma é o fator de Lorentz e r é o raio da trajetória circular.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Física) da 2ª fase do ITA 2024

Física · Física: Relatividade restrita

Texto-base das questões 01 a 10 · Física

Quando necessário, considere as seguintes constantes:
Aceleração local da gravidade g = 10\text{ m/s}^2.
Constante de gravitação universal G = 6{,}7 \times 10^{-11}\text{ N.m}^2/\text{kg}^3.
Velocidade da luz no vácuo c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m/s}.

Se necessitar, use a seguinte aproximação numérica:
(1 + x)^n \approx 1 + nx para |x| \ll 1.

Em um acelerador cíclotron uma partícula 1 carregada com carga q, massa m_0 e energia cinética K, submetida a um campo magnético \vec{B} = -B\hat{z}, percorre uma trajetória curvilínea de raio r_1 em um plano xy. No mesmo acelerador, uma partícula 2 carregada com carga 2q, massa 2m_0 e energia cinética 4K, submetida ao mesmo campo magnético, percorre outra trajetória curvilínea de raio r_2. Considerando efeitos relativísticos, estime a razão r_2/r_1 em termos das energia cinética K, massa m_0 e velocidade da luz c.

Dado: No referencial do acelerador, a expressão equivalente à resultante centrípeta no contexto da mecânica relativística é p^2/(\gamma m_0 r), onde p é o momento relativístico, \gamma é o fator de Lorentz e r é o raio da trajetória circular.

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Resolução comentada

a)

O enunciado fornece a resultante centrípeta relativística p^2/(\gamma m_0 r). A força magnética é qvB, pois \vec v\perp\vec B. Com p=\gamma m_0 v:

\frac{p^2}{\gamma m_0 r}=qvB\;\Rightarrow\;\frac{\gamma m_0 v^2}{r}=qvB\;\Rightarrow\; r=\frac{p}{qB}

Portanto, com o mesmo B, r é proporcional a p/q.

Para obter p a partir de K, use a relação relativística E^2=(pc)^2+(mc^2)^2 com E=K+mc^2:

p^2c^2=K^2+2Kmc^2\;\Rightarrow\;p^2=2mK+\frac{K^2}{c^2}

Partícula 1 (q, m_0, K): p_1^2=K\left(2m_0+\dfrac{K}{c^2}\right).
Partícula 2 (2q, 2m_0, 4K): p_2^2=2(2m_0)(4K)+\dfrac{16K^2}{c^2}=16K\left(m_0+\dfrac{K}{c^2}\right).

A razão dos raios é:

\frac{r_2}{r_1}=\frac{p_2/(2q)}{p_1/q}=\frac{p_2}{2p_1}=2\sqrt{\frac{m_0+K/c^2}{2m_0+K/c^2}}

Seja x=K/(m_0c^2). Então:

\frac{r_2}{r_1}=2\sqrt{\frac{1+x}{2+x}}=\sqrt2\,\frac{(1+x)^{1/2}}{(1+x/2)^{1/2}}

Para x\ll1, use (1+x)^n\approx1+nx:

(1+x)^{1/2}\approx1+\frac{x}{2},\qquad (1+x/2)^{-1/2}\approx1-\frac{x}{4}

O produto é \approx 1+\dfrac{x}{4}.

No limite clássico (x\to0), a razão vale \sqrt2, como esperado.

\dfrac{r_2}{r_1}\approx\sqrt2\left(1+\dfrac{K}{4m_0c^2}\right)

Assuntos: Relatividade restrita, Força magnética.

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Questão 10 no caderno Física da 2ª fase do ITA 2024

Fonte: ITA 2ª fase 2024 · Física. Prova oficial ↗