Questão 40 do IME 2027

Question

Três recipientes rígidos A, B e C, de volume V, 2V e 3V, respectivamente, contêm uma mistura gasosa ideal formada por até três gases inertes X, Y, Z, à mesma temperatura. Inicialmente, os recipientes estão isolados entre si e possuem pressões totais P, 2P e 3P, respectivamente. Além disso, desconhece-se as pressões parciais dos gases em cada recipiente. Após a abertura simultânea das válvulas que os interligam, e o estabelecimento do equilíbrio à mesma temperatura, as pressões parciais finais uniformes em todo o sistema são P_X, P_Y, P_Z.

Antes da abertura das válvulas, sabe-se que:
i. o recipiente A não contém o gás Z.
ii. o recipiente B não contém o gás Y.
iii. o recipiente C não contém o gás X.

Indique qual das alternativas a seguir apresenta os limites estritamente aplicáveis ao processo, em termos de P_X, P_Y e P_Z.

A
P/3 \le P_X + P_Y \le 5P/2
B
0 \le P_X \le 2P/3
C
2P/3 \le P_X + P_Z \le 7P/3
D
0 \le P_Y \le P/2
E
P/3 \le P_Y + P_Z \le 5P/3

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 40 do IME 2027

Prova objetiva · Química

Três recipientes rígidos A, B e C, de volume V, 2V e 3V, respectivamente, contêm uma mistura gasosa ideal formada por até três gases inertes X, Y, Z, à mesma temperatura. Inicialmente, os recipientes estão isolados entre si e possuem pressões totais P, 2P e 3P, respectivamente. Além disso, desconhece-se as pressões parciais dos gases em cada recipiente. Após a abertura simultânea das válvulas que os interligam, e o estabelecimento do equilíbrio à mesma temperatura, as pressões parciais finais uniformes em todo o sistema são P_X, P_Y, P_Z.

Antes da abertura das válvulas, sabe-se que:
i. o recipiente A não contém o gás Z.
ii. o recipiente B não contém o gás Y.
iii. o recipiente C não contém o gás X.

Indique qual das alternativas a seguir apresenta os limites estritamente aplicáveis ao processo, em termos de P_X, P_Y e P_Z.

A
P/3 \le P_X + P_Y \le 5P/2
B
0 \le P_X \le 2P/3
C
2P/3 \le P_X + P_Z \le 7P/3
D
0 \le P_Y \le P/2
E
P/3 \le P_Y + P_Z \le 5P/3

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Como os recipientes estão à mesma temperatura, o número de mols é proporcional a PV. Tomando PV como unidade, cada recipiente contém:

A: P\cdot V = 1
B: 2P\cdot 2V = 4
C: 3P\cdot 3V = 9

O total é 14 unidades. Depois da abertura das válvulas, o volume é 6V e a pressão total é \frac{14}{6}P=\frac{7P}{3}. Cada pressão parcial final é a quantidade do gás dividida por 6.

Pelas condições (i), (ii) e (iii):

A tem só X e Y, com x_A+y_A=1.
B tem só X e Z, com x_B+z_B=4.
C tem só Y e Z, com y_C+z_C=9.

A soma de duas pressões parciais é \frac{7P}{3} menos a terceira. Então basta achar o intervalo possível do gás que fica de fora.

O gás Y só existe em A e C, e seu total é y_A+y_C, com y_A\in[0,1] e y_C\in[0,9]. Logo Y\in[0,10].

Assim, P_X+P_Z=\dfrac{14-Y}{6}P varia de \dfrac{4}{6}P=\dfrac{2P}{3} (quando Y=10) até \dfrac{14}{6}P=\dfrac{7P}{3} (quando Y=0). Os dois extremos são realizáveis: Y=10 com A só de Y e C só de Y; Y=0 com A só de X e C só de Z.

Conferindo as demais:

X\in[0,5], então 0\le P_X\le 5P/6.
Y\in[0,10], então 0\le P_Y\le 5P/3.
Z\in[0,13], então P_X+P_Y vai de P/6 a 7P/3.
P_Y+P_Z vai de 3P/2 a 7P/3.

Só a relação para P_X+P_Z é estritamente a correta.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AP_X+P_Y vai de P/6 a 7P/3, e não de P/3 a 5P/2; o limite superior 5P/2 passa da pressão total 7P/3.
BO máximo de X é 5 unidades em 6V, ou seja 5P/6, e não 2P/3.
DY pode chegar a 10 unidades, ou seja P_Y até 5P/3, e não só P/2.
EP_Y+P_Z=\frac{7P}{3}-P_X vai de 3P/2 a 7P/3, e não de P/3 a 5P/3.

Assuntos: mistura de gases ideais, pressão parcial, lei dos gases.

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Questão 40 no caderno Prova objetiva do IME 2027

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