PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 69 da FUVEST 2025

1ª fase · Matemática: Função modular

No plano cartesiano Oxy, o gráfico que melhor representa a função f(x)=|x^2+5x-6|-5x+6 é dado por

  1. A
    Gráfico em um plano cartesiano com eixos x e y. O eixo x apresenta marcações de −15 a 15, de 5 em 5, e o eixo y, de −5 a 40, de 5 em 5. A curva laranja é uma parábola com concavidade para cima, que cruza o eixo y próximo de 5 e tem vértice entre x = 0 e x = 5, ligeiramente abaixo do eixo x.
  2. B
    Gráfico em um plano cartesiano com eixos x e y. O eixo x apresenta marcações de −15 a 15, de 5 em 5, e o eixo y, de −5 a 40, de 5 em 5. A curva laranja desce à esquerda até uma mudança abrupta de direção próxima de (−6, 36), sobe até um máximo próximo de (−5, 37) e depois desce, cruzando o eixo y entre 10 e 15. Há um mínimo pontudo próximo de (1, 1), a partir do qual a curva sobe à direita.
  3. C
    Gráfico em um plano cartesiano com eixos x e y. O eixo x apresenta marcações de −15 a 15, de 5 em 5, e o eixo y, de −40 a 5, de 5 em 5. A curva laranja sobe à esquerda até uma mudança abrupta de direção próxima de (−6, −36), desce até um mínimo próximo de (−5, −37) e depois sobe, cruzando o eixo y entre −15 e −10. Há um máximo pontudo próximo de (1, −1), a partir do qual a curva desce à direita.
  4. D
    Gráfico em um plano cartesiano com eixos x e y. O eixo x apresenta marcações de −15 a 15, de 5 em 5, e o eixo y, de −5 a 40, de 5 em 5. A curva laranja é uma parábola com concavidade para cima, simétrica em relação ao eixo y, com vértice na origem.
  5. E
    Gráfico em um plano cartesiano com eixos x e y. O eixo x apresenta marcações de −15 a 15, de 5 em 5, e o eixo y, de −5 a 40, de 5 em 5. A curva laranja é uma parábola com concavidade para baixo, com vértice próximo de (−5, 37). Ela cruza o eixo x um pouco à esquerda de −10 e um pouco à direita de 0, e cruza o eixo y entre 10 e 15.
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Resolução comentada

Raízes de x^2+5x-6: (x+6)(x-1), ou seja, x=-6 e x=1. A expressão é positiva ou nula para x\le -6 ou x\ge 1 e negativa para -6<x<1.

O módulo troca o sinal da expressão apenas no intervalo negativo, então analisamos dois casos.

  1. Para x\le -6 ou x\ge 1, o módulo não altera nada:

    f(x)=x^2+5x-6-5x+6=x^2.

  2. Para -6<x<1, o módulo troca o sinal:

    f(x)=-(x^2+5x-6)-5x+6=-x^2-10x+12.

Esse trecho é uma parábola com concavidade para baixo e vértice em x=-\dfrac{-10}{2(-1)}=-5, com f(-5)=-25+50+12=37.

Pontos importantes:

  • f(-6)=36, valor que coincide com x^2 em x=-6 (36), e f(-6) pelo segundo trecho também dá -36+60+12=36;
  • f(0)=12, então o gráfico cruza o eixo y entre 10 e 15;
  • f(1)=1, um mínimo local pontudo (bico), pois a partir daí vale x^2, que sobe.

Portanto, o gráfico é x^2 para x\le-6 (descendo até (-6,36)), forma um bico em (-6,36), sobe até o máximo (-5,37), desce até o bico (1,1) e depois sobe como x^2. Isso corresponde ao gráfico com bico em (-6,36), máximo em (-5,37) e mínimo pontudo em (1,1).

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Amostra uma parábola simples com vértice perto de x = 2,5, sem o módulo gerar bicos em x = −6 e x = 1.
  • Cé o gráfico refletido em relação ao eixo x (valores negativos), mas f(x) é sempre ≥ 0.
  • Dé apenas y = x², que vale só fora do intervalo (−6, 1); ignora o trecho −x² − 10x + 12.
  • Eé a parábola −x² − 10x + 12 inteira, que só vale em (−6, 1); esquece que fora dele f(x) = x².

Assuntos: Função modular, Função quadrática.

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