Questão 70 da FUVEST 2025

1ª fase

Seja (a_n) uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a_1 e a razão r, ambos números reais. É possível construir uma outra sequência (b_n), em que o primeiro termo é um número real b_1 e com a seguinte lei de formação

b_{n+1} = b_n + a_n ,

sendo n > 0 um número natural.

Por exemplo, se b_1 = 0 e

(a_n) = (1,3,5,7,9,11, \ldots) ,

tem-se
(b_n) = (0,1,4,9,16,25, \ldots).

Com base em tais informações, os valores de a_1 e r foram escolhidos de forma que (b_n) também seja uma progressão aritmética de razão r'. Nessas condições, é correto afirmar:

  1. A
    r' = a_1
  2. B
    r' = 2a_1
  3. C
    r' = r
  4. D
    r' = 2r
  5. E
    r' = b_1 - a_1
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Resolução comentada

Se (b_n) é uma PA de razão r', a diferença entre termos consecutivos é constante. Pela lei de formação, essa diferença é b_{n+1}-b_n = a_n.

Então a_n precisa ser constante, igual a r' para todo n.

Mas (a_n) é uma PA de razão r, com a_n = a_1 + (n-1)r. Para que seja constante, a razão tem de ser nula:

  1. a_2 - a_1 = r;
  2. como a_1 = a_2 = r', temos r = 0;
  3. logo a_n = a_1 para todo n, e r' = b_2 - b_1 = a_1.

Assim, r' = a_1 (e r=0). Verificação com a_1=3, r=0 e b_1=0: (b_n)=(0,3,6,9,\ldots), PA de razão 3=a_1.

As demais opções falham: r'=r exigiria a_1=r=0, o que não vale em geral. r'=2a_1 e r'=2r também não valem em geral, pois r=0 e r'=a_1. Já b_1-a_1 depende de b_1, que é livre.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bo dobro de a_1 não aparece; a diferença b_{n+1}-b_n é exatamente a_n=a_1.
  • Cr'=r só valeria se a_1=0; como r=0, em geral r'=a_1\neq r.
  • Dcomo r=0, 2r=0, mas r'=a_1 pode ser diferente de zero.
  • Eb_1 é arbitrário e não interfere na razão de (b_n).

Assuntos: progressão aritmética, sequências.

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