Questão 31 da FUVEST 2024

Question

O reservatório de um caminhão-pipa tem a forma de um cilindro circular reto com eixo horizontal e dimensões internas de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro. Uma escola contratou o serviço do caminhão-pipa para abastecer sua caixa d’água. Após o abastecimento, o motorista percebeu que o reservatório do caminhão estava cheio até 3/4 de sua altura, conforme ilustrado na figura.

Ilustração em perspectiva de um caminhão-pipa com reservatório cilíndrico de eixo horizontal. A seção circular traseira e parte da lateral do reservatório mostram a água em azul, preenchendo três quartos da altura, e a região vazia superior em cinza. Linhas auxiliares junto à seção circular indicam a altura e o nível da água, sem valores escritos.

Qual foi o volume, em metros cúbicos, de água utilizada para abastecer a caixa d’água da escola, sabendo que o reservatório do caminhão estava cheio antes do abastecimento?

A
(2\pi - \frac{\sqrt{3}}{4})
B
(2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2})
C
(2\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2})
D
(4\pi + \frac{\sqrt{3}}{4})
E
(4\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2})

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 31 da FUVEST 2024

1ª fase · Matemática: Cilindro

O reservatório de um caminhão-pipa tem a forma de um cilindro circular reto com eixo horizontal e dimensões internas de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro. Uma escola contratou o serviço do caminhão-pipa para abastecer sua caixa d’água. Após o abastecimento, o motorista percebeu que o reservatório do caminhão estava cheio até 3/4 de sua altura, conforme ilustrado na figura.

Ilustração em perspectiva de um caminhão-pipa com reservatório cilíndrico de eixo horizontal. A seção circular traseira e parte da lateral do reservatório mostram a água em azul, preenchendo três quartos da altura, e a região vazia superior em cinza. Linhas auxiliares junto à seção circular indicam a altura e o nível da água, sem valores escritos.

Qual foi o volume, em metros cúbicos, de água utilizada para abastecer a caixa d’água da escola, sabendo que o reservatório do caminhão estava cheio antes do abastecimento?

A
(2\pi - \frac{\sqrt{3}}{4})
B
(2\pi - \frac{3\sqrt{3}}{2})
C
(2\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2})
D
(4\pi + \frac{\sqrt{3}}{4})
E
(4\pi + \frac{3\sqrt{3}}{2})

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

O caminhão estava cheio antes e ficou com água até 3/4 da altura. A água usada na escola é o que falta: a parte vazia, que é o segmento circular de cima, vezes o comprimento.

A seção circular tem raio r = 1\ \text{m}. O nível da água está a 3/4 de 2\ \text{m}, ou seja, a 1{,}5\ \text{m} do fundo. A região vazia tem altura 0{,}5\ \text{m} e fica acima de uma corda.

Distância do centro à corda: 1{,}5 - 1 = 0{,}5\ \text{m}.
Ângulo central \theta da corda: \cos(\theta/2) = 0{,}5/1, logo \theta/2 = 60^\circ e \theta = 120^\circ.
Área do setor de 120^\circ: \dfrac{1}{3}\pi r^2 = \dfrac{\pi}{3}.
Área do triângulo formado pelo centro e pela corda: \dfrac{1}{2}r^2\,\sen 120^\circ = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}.
Área do segmento (parte vazia): \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}.
Volume vazio, com comprimento 6\ \text{m}:

V = 6\left(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}\right) = 2\pi - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\ \text{m}^3

Esse é o volume de água retirado para abastecer a escola.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsquece de multiplicar a parte \sqrt{3}/4 pelo comprimento de 6 m.
CSoma o triângulo em vez de subtraí-lo do setor.
DUsa valores incorretos e soma o triângulo, sem relação com o segmento.
ESoma o triângulo e usa setor maior, errando o ângulo e o sinal.

Assuntos: Cilindro, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova