Questão 13 da FUVEST 2024

Question

Matrizes podem ser usadas para se obter informações sobre uma rede social. Para compreender como isso pode ser feito, consideremos como exemplo uma pequena rede social formada por 4 pessoas: P_1, P_2, P_3, P_4. A matriz associada a essa rede social é a matriz 4 \times 4:

M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

O valor 1 (um) na posição a_{32} (linha 3, coluna 2) da matriz significa que a pessoa P_3 segue a pessoa P_2, ao passo que o valor 0 (zero) na posição a_{24} (linha 2, coluna 4) significa que a pessoa P_2 não segue a pessoa P_4. O valor 0 (zero) será atribuído às posições a_{ii}. O significado do valor da posição b_{mn} da matriz produto M \times M = M^2 é a quantidade de conexões da pessoa P_m até a pessoa P_n passando exatamente por uma pessoa, diferente delas duas, que chamaremos de conexão de grau 2.

Dessa forma, os valores das posições da matriz M^2 podem refletir o alcance da rede social, suas potencialidades e fraquezas, a influência de certos membros dela, dentre outros aspectos.

Com relação à rede social apresentada, é correto afirmar que:

A
Existem 5 pares de pessoas diferentes (P_i \neq P_j) que não possuem conexões de grau 2.
B
Existem 6 pares de pessoas diferentes (P_i \neq P_j) que possuem apenas uma conexão de grau 2.
C
Existem 3 pares de pessoas diferentes (P_i \neq P_j) que possuem 2 conexões de grau 2 diferentes.
D
Existem 3 pessoas que possuem conexões de grau 2 com todas as outras pessoas da rede social.
E
Existe apenas 1 pessoa P_i (i \neq 3) tal que P_i e P_3 seguem-se mutuamente.

Note e adote:
A posição b_{mn} da matriz produto M \times M = M^2 é dada pela expressão b_{mn} = a_{m1}a_{1n} + a_{m2}a_{2n} + a_{m3}a_{3n} + a_{m4}a_{4n}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 da FUVEST 2024

1ª fase · Matemática: Matrizes e determinantes

Matrizes podem ser usadas para se obter informações sobre uma rede social. Para compreender como isso pode ser feito, consideremos como exemplo uma pequena rede social formada por 4 pessoas: P_1, P_2, P_3, P_4. A matriz associada a essa rede social é a matriz 4 \times 4:

M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

O valor 1 (um) na posição a_{32} (linha 3, coluna 2) da matriz significa que a pessoa P_3 segue a pessoa P_2, ao passo que o valor 0 (zero) na posição a_{24} (linha 2, coluna 4) significa que a pessoa P_2 não segue a pessoa P_4. O valor 0 (zero) será atribuído às posições a_{ii}. O significado do valor da posição b_{mn} da matriz produto M \times M = M^2 é a quantidade de conexões da pessoa P_m até a pessoa P_n passando exatamente por uma pessoa, diferente delas duas, que chamaremos de conexão de grau 2.

Dessa forma, os valores das posições da matriz M^2 podem refletir o alcance da rede social, suas potencialidades e fraquezas, a influência de certos membros dela, dentre outros aspectos.

Com relação à rede social apresentada, é correto afirmar que:

A
Existem 5 pares de pessoas diferentes (P_i \neq P_j) que não possuem conexões de grau 2.
B
Existem 6 pares de pessoas diferentes (P_i \neq P_j) que possuem apenas uma conexão de grau 2.
C
Existem 3 pares de pessoas diferentes (P_i \neq P_j) que possuem 2 conexões de grau 2 diferentes.
D
Existem 3 pessoas que possuem conexões de grau 2 com todas as outras pessoas da rede social.
E
Existe apenas 1 pessoa P_i (i \neq 3) tal que P_i e P_3 seguem-se mutuamente.

Note e adote:
A posição b_{mn} da matriz produto M \times M = M^2 é dada pela expressão b_{mn} = a_{m1}a_{1n} + a_{m2}a_{2n} + a_{m3}a_{3n} + a_{m4}a_{4n}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Cada entrada b_{mn} de M^2 conta os caminhos P_m \to P_k \to P_n. Vamos calcular M^2 linha por linha, somando as linhas de M indicadas pelos 1 de cada linha.

Linhas de M: L_1=(0,1,0,1), L_2=(0,0,1,0), L_3=(1,1,0,1), L_4=(1,0,1,0).

Linha 1 de M^2 = L_2+L_4 = (1,0,2,0).
Linha 2 de M^2 = L_3 = (1,1,0,1).
Linha 3 de M^2 = L_1+L_2+L_4 = (1,1,2,1).
Linha 4 de M^2 = L_1+L_3 = (1,2,0,2).

Considerando só pares com m\neq n (13 a 4, fora da diagonal):

b_{12}=0,\ b_{13}=2,\ b_{14}=0
b_{21}=1,\ b_{23}=0,\ b_{24}=1
b_{31}=1,\ b_{32}=1,\ b_{34}=1
b_{41}=1,\ b_{42}=2,\ b_{43}=0

Pares ordenados com valor 0: b_{12},b_{14},b_{23},b_{43}, ou seja, 4 (não 5). Com valor 1: b_{21},b_{24},b_{31},b_{32},b_{34},b_{41}, ou seja, 6. Com valor 2: b_{13},b_{42}, ou seja, 2.

Analisando as alternativas: (A) dá 4, não 5. (B) dá 6 pares com exatamente uma conexão, correto. (C) há 2 pares, não 3. (D) ninguém tem conexão com todos os outros: a linha 3 tem valores positivos para P_1,P_2,P_4, mas só P_3 chega a todos; contando as linhas, só P_3 serve, então são 1 pessoa, não 3. (E) P_3 e P_1 se seguem mutuamente (a_{31}=a_{13}? a_{13}=0, não); P_3 e P_2: a_{32}=1,a_{23}=1, sim; P_3 e P_4: a_{34}=1,a_{43}=1, sim. Logo são 2 pessoas, não 1.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AHá 4 pares ordenados sem conexão de grau 2 (b_{12},b_{14},b_{23},b_{43}), não 5.
CSó há 2 pares com duas conexões (b_{13} e b_{42}), não 3.
DSó P_3 tem conexão de grau 2 com todas as outras pessoas, não 3 pessoas.
EP_3 tem seguimento mútuo com P_2 e com P_4, são 2 pessoas, não 1.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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