Questão 21 da FUVEST 2023
Em uma feira de produtos orgânicos é vendido arroz a granel. A gerente da feira decidiu oferecer descontos progressivos na venda de arroz, de acordo com os seguintes critérios:
- Quem comprar exatamente 1 kg de arroz paga R$ 5,00.
- Quanto maior for a quantidade que o cliente comprar, maior será o total a pagar.
- Quanto maior for a quantidade que o cliente comprar, menor será o valor por quilo.
Cada uma das alternativas listadas apresenta uma possível fórmula para o total que o cliente irá pagar, em reais, se comprar uma quantidade x, em quilos, de arroz. A única alternativa que atende aos critérios estabelecidos é:
- A5x^2
- B5\sqrt{x}
- C5/x
- D5x
- E5x - x^2
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Resolução comentada
Traduza os três critérios em condições sobre a fórmula T(x), que dá o total pago por x kg:
- T(1)=5.
- T é crescente (mais arroz, total maior).
- O valor por quilo, T(x)/x, é decrescente.
Teste cada alternativa.
- 5x^2: T(1)=5 e é crescente, mas o preço por quilo é 5x^2/x=5x, que aumenta. Falha no critério 3.
- 5\sqrt{x}: T(1)=5. Para x>0 é crescente. O preço por quilo é \dfrac{5\sqrt{x}}{x}=\dfrac{5}{\sqrt{x}}, que diminui quando x aumenta. Atende aos três critérios.
- 5/x: T(1)=5, mas o total diminui com x. Falha no critério 2.
- 5x: T(1)=5 e é crescente, mas o preço por quilo é sempre 5, constante. Falha no critério 3.
- 5x-x^2: T(1)=4\neq 5. Falha já no critério 1.
Só 5\sqrt{x} satisfaz tudo: o total cresce, mas cada vez mais devagar, então o quilo fica mais barato.
Alternativa B.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AO preço por quilo é 5x, que aumenta com a quantidade, contrariando o desconto progressivo.
- CO total diminui quando x aumenta, violando o critério de que comprar mais custa mais.
- DO preço por quilo fica constante em R$ 5,00, sem desconto.
- EDá T(1)=4 e não R$ 5,00; além disso não é crescente para todo x.
Assuntos: funções, raiz quadrada, análise de crescimento.
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